Pagina:Gauss, Carl Friedrich - Werke (1870).djvu/42

32

de congruentiis primi gradus.

$\varphi a+\varphi a'+\varphi a''+$ etc. numeri, omnes ipso $A$ non maiores. At

1) omnes hi numeri erunt inaequales. Omnes enim eos, qui ex eodem ipsius $A$ divisore sint generati, inaequales fore, per se clarum. Si vero e divisoribus diversis $M,N$ numerisque $\mu ,\nu$ ad istos respective primis aequales prodiissent, i. e. si esset $\textstyle {\frac {A}{M}}\mu ={\frac {A}{N}}\nu$, sequeretur $\mu N=\nu M$. Ponatur $M>N$ (id quod licet). Quoniam $M$ ad $\mu$ est primus, atque numerum $\mu N$ metitur, etiam ipsum $N$ metietur, maior minorem. Q. E. A.

2) inter hos numeros, omnes hi $1,2,3\ldots A$ invenientur. Sit numerus quicunque ipsum $A$ non superans $t$, maxima numerorum $A,t$ communis mensura $\delta$ eritque $\textstyle {\frac {A}{\delta }}$ divisor ipsius $A$, ad quem $\textstyle {\frac {t}{\delta }}$ primus. Manifesto hinc numerus $t$ inter eos invenietur, qui ex divisore $\textstyle {\frac {A}{\delta }}$ prodierunt.

3) Hinc colligitur horum numerorum multitudinem esse $A$, quare

$\varphi a+\varphi a'+\varphi a''+\mathrm {etc.} =A\quad$ Q. E. D.

40.

Si maximus numerorum $A,B,C,D$ etc. divisor communis $=\mu$: numeri $a,b,c,d$ etc. ita determinari possunt, ut sit $$aA+bB+cC+\mathrm {etc.} =\mu$$

Dem. Consideremus primo duos tantum numeros $A,B$, sitque horum divisor maximus communis $=\lambda$. Tum congruentia $\textstyle Ax\equiv \lambda {\pmod {B}}$ erit resolubilis (art. 30). Sit radix $\equiv \alpha$, ponaturque $\textstyle {\frac {\lambda -A\alpha }{B}}=\beta$. Tum erit $\alpha A+\beta B=X$, uti desiderabatur.

Accedente numero tertio $C$, sit $\lambda '$ maximus divisor communis numerorum $\lambda ,C$, determinenturque numeri $k,\gamma$ ita ut sit $k\lambda +\gamma C=\lambda '$, unde erit $$k\alpha A+k\beta B+\gamma C=\lambda '$$

Manifesto autem $\lambda '$ est divisor communis numerorum $A,B,C$, et quidem maximus, si enim extaret maior $=\theta$, foret $k\alpha .{\frac {A}{\theta }}+k\beta .{\frac {B}{\theta }}+\gamma .{\frac {C}{\theta }}={\frac {\lambda '}{\theta }}\mathrm {integer} ,\quad$ Q. E. A. Factum est itaque quod propositum fuerat, dum statuimus $k\alpha =a$, $k\beta =b$, $\gamma =c$, $\lambda '=\mu$.