Pagina:Gauss, Carl Friedrich - Werke (1870).djvu/42

32

de congruentiis primi gradus.

$\phi a+\phi a^{\prime }+\phi a^{″}+$ etc. numeri, omnes ipso $A$ non maiores. At

1) omnes hi numeri erunt inaequales. Omnes enim eos, qui ex eodem ipsius $A$ divisore sint generati, inaequales fore, per se clarum. Si vero e divisoribus diversis $M,N$ numerisque $\mu ,\nu$ ad istos respective primis aequales prodiissent, i. e. si esset $\frac{A}{M}\mu =\frac{A}{N}\nu$, sequeretur $\mu N=\nu M$. Ponatur $M>N$ (id quod licet). Quoniam $M$ ad $\mu$ est primus, atque numerum $\mu N$ metitur, etiam ipsum $N$ metietur, maior minorem. Q. E. A.

2) inter hos numeros, omnes hi $1,2,3\dots A$ invenientur. Sit numerus quicunque ipsum $A$ non superans $t$, maxima numerorum $A,t$ communis mensura $\delta$ eritque $\frac{A}{\delta }$ divisor ipsius $A$, ad quem $\frac{t}{\delta }$ primus. Manifesto hinc numerus $t$ inter eos invenietur, qui ex divisore $\frac{A}{\delta }$ prodierunt.

3) Hinc colligitur horum numerorum multitudinem esse $A$, quare

$\phi a+\phi a^{\prime }+\phi a^{″}+\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{c}\mathrm{.}=A$ Q. E. D.

40.

Si maximus numerorum $A,B,C,D$ etc. divisor communis $=\mu$: numeri $a,b,c,d$ etc. ita determinari possunt, ut sit $$aA+bB+cC+\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{c}\mathrm{.}=\mu$$

Dem. Consideremus primo duos tantum numeros $A,B$, sitque horum divisor maximus communis $=\lambda$. Tum congruentia $Ax\equiv \lambda (\mathrm{mod}B)$ erit resolubilis (art. 30). Sit radix $\equiv \alpha$, ponaturque $\frac{\lambda -A\alpha }{B}=\beta$. Tum erit $\alpha A+\beta B=X$, uti desiderabatur.

Accedente numero tertio $C$, sit ${\lambda }^{\prime }$ maximus divisor communis numerorum $\lambda ,C$, determinenturque numeri $k,\gamma$ ita ut sit $k\lambda +\gamma C={\lambda }^{\prime }$, unde erit $$k\alpha A+k\beta B+\gamma C={\lambda }^{\prime }$$

Manifesto autem ${\lambda }^{\prime }$ est divisor communis numerorum $A,B,C$, et quidem maximus, si enim extaret maior $=\theta$, foret $k\alpha .\frac{A}{\theta }+k\beta .\frac{B}{\theta }+\gamma .\frac{C}{\theta }=\frac{{\lambda }^{\prime }}{\theta }\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{r},$ Q. E. A. Factum est itaque quod propositum fuerat, dum statuimus $k\alpha =a$, $k\beta =b$, $\gamma =c$, ${\lambda }^{\prime }=\mu$.