Pagina:Gauss, Carl Friedrich - Werke (1870).djvu/55

45

moduli qui sunt numperi primi

cedentis, scilicet semper dari numeros, quorum nulla potestas inferior quam $p-1$^ta unitati congrua, et quidem totidem inter $1$ et $p-1$, quot infra $p-1$ sint numeri ad $p-1$ primi. Cuius theorematis demonstratio quum minime tam obvia sit quam primo aspectu videri possit, propter theorematis dignitatem liceat aliam adhuc adiicere a praecedente aliquantum diversam, quandoquidem methodorum diversitas ad res obscuriores illustrandas plurimum conferre solet. Resolvatur $p-1$ in factores suos primos fiatque $p-1=a^{\alpha }b^{\beta }c^{\gamma }$ etc., designantibus $a,b,c$ etc. numeros primos inaequales. Tum theorematis demonstrationem per sequentia absolvemus:

I. Semper inveniri posse numerum $A$ (aut plures) ad exponentem $a^{\alpha }$ pertinentem, similiterque numeros $B,C$ etc. ad exponentes $b^{\beta },c^{\gamma }$ etc. respective pertinentes.

II. Productum ex omnibus numeris $A,B,C$ etc. (sive huius producti residuum minimum) ad exponentem $p-1$ pertinere. Haec autem ita demonstramus.

I. Sit g numerus aliquis ex his $1,2,3\ldots p-1$, congruentiae $\textstyle x^{\frac {p-1}{a}}\equiv 1{\pmod {p}}$ non satisfaciens, omnes enim hi numeri congruentiae huic, cuius gradus $<p-1$, satisfacere nequeunt. Tum dico si potestas $\textstyle {\frac {p-1}{a^{\alpha }}}$^ta ipsius $g$ ponatur $\equiv h$, hunc numerum, sive eius residuum minimum ad exponentem $a^{\alpha }\!$ pertinere.

Namque patet potestatem $a^{\alpha }$^tam ipsius $h$ congruam fore potestati $p-1$^tae ipsius $g$ i. e. unitati, potestas vero $a^{\alpha -1}$^ta ipsius $h$ congrua erit potestati $\textstyle {\frac {p-1}{a}}$^tae ipsius $g$, i. e. unitati erit incongrua, multoque minus potestates $a^{\alpha -2},a^{\alpha -3}$^tae etc. ipsius $h$ unitati congruae esse possunt. At exponens infimae potestatis ipsius $h$ unitati congruae, sive exponens ad quam pertinet $h$, numerum $a^{\alpha }\!$ metiri debet (art. 48). Quare quum $a^{\alpha }\!$ per alios numeros divisibilis non sit quam per se ipsum, atque per inferiores ipsius $a$ potestates, necessario $a^{\alpha }\!$ erit exponens ad quem $h$ pertinet. Q. E. D. Per similem methodum demonstratur, dari numeros ad exponentes $b^{\beta },c^{\gamma }$ etc. pertinentes.

II. Si supponimus, productum ex omnibus $A,B,C$ etc. non ad exponentem $p-1$, sed ad minorem $t$ pertinere, $t$ ipsum $p-1$ metietur (art. 48), sive erit $\textstyle {\frac {p-1}{t}}$ integer unitate maior. Facile autem perspicitur, hunc quotientem vel esse unum e numeris primis $a,b,c$ etc. vel saltem per aliquem eorum divisibilem (art. 17), ex. gr. per $a$, de reliquis enim simile est ratiocinium.