Pagina:Gauss, Carl Friedrich - Werke (1870).djvu/56

46

de residuis potestatum.

Metietur itaque $t$ ipsum $\textstyle {\frac {p-1}{a}}$; quare productum $ABC$ etc. etiam ad potestatem $\textstyle {\frac {p-1}{a}}$^tam elevatum unitati erit congriium (art. 46). Sed perspicuum est singulos $B,C$ etc. (exemto ipso $A$) ad potestatem $\textstyle {\frac {p-1}{a}}$^tam elevatos unitati congruos fieri, quum exponentes $b^{\beta },c^{\gamma }$ etc., ad quos singuli pertinent, ipsum $\textstyle {\frac {p-1}{a}}$ metiantur. Hinc erit $A^{\frac {p-1}{a}}B^{\frac {p-1}{a}}C^{\frac {p-1}{a}}\mathrm {etc.} \equiv A^{\frac {p-1}{a}}\equiv 1$ Unde sequitur exponentem, ad quem $A$ pertinet, ipsum $\textstyle {\frac {p-1}{a}}$ metiri debere (art. 48), i. e. $\textstyle {\frac {p-1}{a^{\alpha +1}}}$ esse integrum; at $\textstyle {\frac {p-1}{a^{\alpha +1}}}=\textstyle {\frac {b^{\beta }c^{\gamma }\mathrm {etc.} }{a}}$ integer esse nequit (art. 15). Unde tandem concludere oportet, suppositionem nostram consistere non posse, i. e. productum $ABC$ etc. revera ad exponentem $p-1$ pertinere. Q. E. D.

Demonstratio posterior priori aliquantulum prolixior esse videtur, prior contra posteriori minus directa.

56.

Hoc theorema insigne exemplum suppeditat, quanta circumspectione in theoria numerorum saepenumero opus sit, ne, quae non sunt, pro certi assumamus. Celeb. Lambert in diss. iam supra laudata Acta Erudit. 1769 p. 127 huius propositionis mentionem facit, sed demonstrationis ne necessitatem quidem attigit. Nemo vero demonstrationem tentavit praeter summum Eulerum, Comment. nov. Ac. Petrop. T. XVIII ad annum 1773, Demonstrationes circa residua ex divisione potestatum per numeros primos resultantia p. 85 seqq. vid. imprimis art. 37, ubi de demonstrationis necessitate fusius locutus est. At demonstratio, quam Vir sagacissimus exhibuit, duos defectus habet. Alterum quod art. 31 et sqq. tacite supponit, congruentiam $x^{n}\equiv 1$ (translatis ratiociniis illic adhibitis in nostra signa) revera $n$ radices diversas habere, quamquam ante nihil aliud fuerit demonstratum quam quod plures habere nequeat; alterum, quod formulam art. 34 per inductionem tantummodo deduxit.

Radices primitivae, bases, indices.

57.

Numeros ad exponentem $p-1$ pertinentes radices primitivas cum ill. Eulero vocabimus. Si igitur $a$ est radix primitiva, potestatum $a,aa,a^{3}\ldots a^{p-1}\!$