Pagina:Gauss, Carl Friedrich - Werke (1870).djvu/54

44

de residuis potestatum.

ponentis $d$ congruae sint unitati. Hinc patet, omnes numeros ad exponentem $d$ pertinentes inter residua minima numerorum $a,aa,a^3\dots a^d$ reperiri. Quales vero sint, quantaque eorum multitudo, ita definitur. Si $k$ est numerus ad $d$ primus, omnes potestates ipsius $a^k$, quarum exponentes $<d$ , unitati non erunt congrui: esto enim $\frac{1}{k}(\mathrm{mod}d)\equiv m$ (vid. art. 31) eritque $a^{km}\equiv a$; quare si potestas $e^{\mathrm{t}\mathrm{a}}$ ipsius $a^k$ unitati esset congrua atque $e<d$, foret etiam $a^{kme}\equiv 1$ et hinc $a^e\equiv 1$ contra hyp. Hinc manifestum est, residuum minimum ipsius $a^k$ ad exponentem $d$ pertinere. Si vero $k$ divisorem aliquem, $\delta$, cum $d$ communem habet, ipsius $a^k$ residuum minimum ad exponentem $d$ non pertinet; quoniam tum potestas $\frac{d^{\mathrm{t}\mathrm{a}}}{\delta }$ iam unitati fit congrua (erit enim $\frac{kd}{\delta }$ per $d$ divisibilis, sive $\equiv 0(\mathrm{mod}d)$ adeoque $\frac{kd}{\delta }\equiv 1$). Hinc colligitur, totidem numeros ad exponentem $d$ pertinere, quot numerorum $1,2,3\dots d$ ad $d$ sint primi. At memorem esse oportet, hanc conclusionem innixam esse suppositioni, unum numerum $a$ iam haberi ad exponentem $d$ pertinentem. Quamobrem dubium remanet, fierine possit ut ad aliquem exponentem nullus omnino numerus pertineat; conclusioque eo limitatur, ut $\psi d$ sit vel $=0$ vel $=\phi d$.

54.

II. Iam sint omnes divisores numeri $p-1$ hi: $d,d^{\prime },d^{″}$ etc. eritque, quia omnes numeri $1,2,3\dots p-1$ inter hos sunt distributi, $\psi d+\psi d^{\prime }+\psi d^{″}+\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{c}\mathrm{.}=p-1$ At in art. 40 demonstravimus esse $\phi d+\phi d^{\prime }+\phi d^{″}+\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{c}\mathrm{.}=p-1$ atque ex art. praec. sequitur, $\psi d$ ipsi $\phi d$ aut aequalem aut ipso minorem esse, maiorem esse non posse, similiterque de $\psi d^{\prime }$ et $\phi d^{\prime }$, etc. Si itaque aliquis terminus ex his $\psi d,\psi d^{\prime },\psi d^{″}$ etc. termino respondente ex his $\phi d,\phi d^{\prime },\phi d^{″}$, esset minor (sive etiam plures), illorum summa summae herum aequalis esse non posset. Unde tandem concludimus, $\psi d$ ipsi $\phi d$ semper esse aequalem, adeoque a magnitudine ipsius $p-1$ non pendere.

55.

Maximam autem attentionem meretur casus particularis propositionis prae-