Pagina:Gauss, Carl Friedrich - Werke (1870).djvu/59

49

radices primitivae, indices.

sunt congrui tamquam aequivalentes spectandi (art. 26). Ceterum patet, si $A$, $B$ secundum $p$ fuerint congrui, expressiones ${}^{n}\!\!\!\surd {A}$, $\textstyle {}^{n}\!\!\!\surd {B}{\pmod {p}}$ aequivalentes fore.

Iam si ponitur $\textstyle {}^{n}\!\!\!\surd {A}\equiv x{\pmod {p}}$, erit $\textstyle n\operatorname {Ind.} x\equiv$ $\textstyle \operatorname {Ind.} A{\pmod {p-1}}\!$. Ex hac congruentia deducuntur ad praecepta sectionis praec. valores ipsius $\operatorname {Ind.} x$ atque ex his valores respondentes ipsius $x$. Facile vero perspicitur, $x$ habere totidem valores, quot radices congruentia $n\operatorname {Ind.} x\equiv$ $\textstyle \operatorname {Ind.} A{\pmod {p-1}}$. Manifesto igitur ${}^{n}\!\!\!\surd {A}$ unum tantummodo valorem habebit, quando $n$ ad $p-1$ est primus; quando vero numeri $n$, $p-1$ divisorem communem habent $\delta$, atque hic est maximus, $\operatorname {Ind.} x$ habebit $\delta$ valores incongruos secundum $p-1$, adeoque ${}^{n}\!\!\!\surd {A}$ totidem valores incongruos secundum $p$, siquidem $\operatorname {Ind.} A$ per $\delta$ est divisibilis. Qua conditione deficiente ${}^{n}\!\!\!\surd {A}$ nullum valorem realem habebit.

Exemplum. Quaeruntur valores expressionis $\textstyle {}^{15}\!\!\!\surd {11}{\pmod {19}}$. Solvi itaque debet congruentia $15\operatorname {Ind.} x\equiv$ $\operatorname {Ind.} 11=$ $\textstyle 6{\pmod {18}}$, invenienturque tres valores ipsius $\operatorname {Ind.} x$ $\equiv$ $\textstyle 4,10,16{\pmod {18}}$. His vero respondent valores ipsius $x$, $6$, $9$, $4$.

61.

Quantumvis expedita sit methodus haec, quando tabulae necessariae adsunt, debemus tamen non oblivisci, indirectam eam esse. Operae igitur pretium erit inquirere quantum methodi directae polleant: trademusque hic ea quae ex praecedentibus hauriri possunt: alia, quae considerationes reconditiores postulant, ad sectionem VIII reservantes. Initium facimus a casu simplicissimo, ubi $A=1$, sive ubi radices congruentiae $\textstyle x^{n}\equiv 1{\pmod {p}}$ quaeruntur. Hic itaque, assumta radice quacunque primitiva pro basi, debet esse $\textstyle n\operatorname {Ind.} x\equiv 0{\pmod {p-1}}$. Quae congruentia, quando $n$ ad $p-1$ est primus, unam tantummodo radicem habebit, scilicet $\textstyle \operatorname {Ind.} x\equiv 0{\pmod {p-1}}$: quare in hocce casu $\textstyle {}^{n}\!\!\!\surd {1}{\pmod {p}}$ unicum valorem habet, scilicet $\equiv 1$. Quando autem numeri $n$, $p-1$ habent divisorem communem (maximum) $\delta$, congruentiae $\textstyle n\operatorname {Ind.} x\equiv 0{\pmod {p-1}}$ solutio completa erit $\operatorname {Ind.} x\equiv$ $\textstyle 0{\pmod {\frac {p-1}{\delta }}}$ (V. art. 29), i.e. $\operatorname {Ind.} x$ secundum modulum $p-1$ alicui ex his numeris $0,{\frac {p-1}{\delta }},{\frac {2(p-1)}{\delta }},{\frac {3(p-1)}{\delta }}\ldots {\frac {(\delta -1)(p-1)}{\delta }}$congruus esse debebit, sive $\delta$ valores secundum modulum $p-1$ incongruos habebit; quare etiam $x$ in hocce casu $\delta$ valores diversos (secundum modulum

I. 7