Pagina:Gauss, Carl Friedrich - Werke (1870).djvu/60

$p$ incongruos) habebit. Hinc perspicitur, expressionem ${}^{\delta }\!\!\!\surd {1}$ etiam $\delta$ valores diversos habere, quorum indices cum ante allatis prorsus conveniant. Quocirca expressio $\textstyle {}^{\delta }\!\!\!\surd {1}{\pmod {p}}$ huic. $\textstyle {}^{n}\!\!\!\surd {1}{\pmod {p}}$ omnino aequivalet, i. e. congruentia $\textstyle x^{\delta }\equiv 1{\pmod {p}}$ easdem radices habet quas haec, $\textstyle x^{n}\equiv 1{\pmod {p}}$. Prior autem inferioris erit gradus, siquidem $\delta$ et $n$ sunt inaequales.

Ex. $\textstyle {}^{15}\!\!\!\surd {1}{\pmod {19}}$ tres habet valores, quia $3$ maxima numerorum $15{\text{, }}$ $18$ mensura communis, hique simul erunt valores expressionis $\textstyle {}^{3}\!\!\!\surd {1}{\pmod {19}}$. Sunt autem hi $1$, $7$, $11$.

62.

Per hanc igitur reductionem id lucramur, ut alias congruentias formae $x^{n}\equiv 1$ solvere non sit opus, quam ubi $n$ numeri $p-1$ est divisor. Infra vero ostendemus, congruentias huius formae semper ulterius adhuc deprimi posse, licet praecedentia ad hoc non sufficiant. Unum tamen casum iam hic absolvere possumus, scilicet ubi $n=2$. Manifeste enim valores expressionis ${}^{2}\!\!\!\surd {1}$ erunt $+1$ et $-1$, quia plures quam duos habere nequit, hique $+1$ et $-1$ semper sunt incongrui, nisi modulus sit $=2$, in quo casu ${}^{2}\!\!\!\surd {1}$ unum tantum valorem habere posse, per se clarum. Hinc sequitur, $+1$ et $-1$ etiam fore valores expressionis ${}^{2m}\!\!\!\surd {1}$ quando $m$ ad ${\tfrac {p-1}{2}}$ sit primus. Hoc semper eveniet, quoties modulus est eius indolis, ut ${\tfrac {p-1}{2}}$ fiat numerus absolute primus (nisi forte $p-1=2m$, in quo casu omnes numeri $1,2,3\ldots p-1$ sunt radices) ex. gr. quando $p=3,5,7,11,$$23,47,59,83,107$ etc. Tamquam corollarium hic annotetur, indicem ipsius $-1$ semper esse $\textstyle \equiv {\frac {p-1}{2}}{\pmod {p-1}}$, quaecunque radix primitiva pro basi accipiatur. Namque $\textstyle 2\operatorname {Ind.} (-1)\equiv 0{\pmod {p-1}}$. Quare $\operatorname {Ind.} (-1)$ erit vel $\equiv 0$, vel $\textstyle \equiv {\frac {p-1}{2}}{\pmod {p-1}}$: $0$ vero semper index ipsius $+1$, atque $+1$ et $-1$ semper indices diversos habere debent (praeter casum $p=2$, ad quem hic respicere operae non est pretium).

63.

Ostendimus art. 60, expressionem $\textstyle {}^{n}\!\!\!\surd {A}{\pmod {p}}$ habere $\delta$ valores diversos, aut omnino nullum, si fuerit $\delta$ divisor communis maximus numerorum $n$, $p-1$. Iam uti modo docuimus ${}^{n}\!\!\!\surd {A}$ et ${}^{\delta }\!\!\!\surd {A}$ aequivalentes esse, si fuerit $A\equiv 1$, generalius probabimus, expressionem ${}^{n}\!\!\!\surd {A}$ semper ad aliam ${}^{\delta }\!\!\!\surd {B}$ reduci posse, cui aequivaleat. Illius enim valore quocunque denotato per $x$ erit $x^{n}\equiv A$; iam