Pagina:Gauss, Carl Friedrich - Werke (1870).djvu/60

$p$ incongruos) habebit. Hinc perspicitur, expressionem ${}^{\delta }\surd 1$ etiam $\delta$ valores diversos habere, quorum indices cum ante allatis prorsus conveniant. Quocirca expressio ${}^{\delta }\surd 1(\mathrm{mod}p)$ huic. ${}^n\surd 1(\mathrm{mod}p)$ omnino aequivalet, i. e. congruentia $x^{\delta }\equiv 1(\mathrm{mod}p)$ easdem radices habet quas haec, $x^n\equiv 1(\mathrm{mod}p)$. Prior autem inferioris erit gradus, siquidem $\delta$ et $n$ sunt inaequales.

Ex. ${}^{15}\surd 1(\mathrm{mod}19)$ tres habet valores, quia $3$ maxima numerorum $15\text{, }$ $18$ mensura communis, hique simul erunt valores expressionis ${}^3\surd 1(\mathrm{mod}19)$. Sunt autem hi $1$, $7$, $11$.

62.

Per hanc igitur reductionem id lucramur, ut alias congruentias formae $x^n\equiv 1$ solvere non sit opus, quam ubi $n$ numeri $p-1$ est divisor. Infra vero ostendemus, congruentias huius formae semper ulterius adhuc deprimi posse, licet praecedentia ad hoc non sufficiant. Unum tamen casum iam hic absolvere possumus, scilicet ubi $n=2$. Manifeste enim valores expressionis ${}^2\surd 1$ erunt $+1$ et $-1$, quia plures quam duos habere nequit, hique $+1$ et $-1$ semper sunt incongrui, nisi modulus sit $=2$, in quo casu ${}^2\surd 1$ unum tantum valorem habere posse, per se clarum. Hinc sequitur, $+1$ et $-1$ etiam fore valores expressionis ${}^{2m}\surd 1$ quando $m$ ad $\frac{p-1}{2}$ sit primus. Hoc semper eveniet, quoties modulus est eius indolis, ut $\frac{p-1}{2}$ fiat numerus absolute primus (nisi forte $p-1=2m$, in quo casu omnes numeri $1,2,3\dots p-1$ sunt radices) ex. gr. quando $p=3,5,7,11,$$23,47,59,83,107$ etc. Tamquam corollarium hic annotetur, indicem ipsius $-1$ semper esse $\equiv \frac{p-1}{2}(\mathrm{mod}p-1)$, quaecunque radix primitiva pro basi accipiatur. Namque $2\mathrm{Ind.}(-1)\equiv 0(\mathrm{mod}p-1)$. Quare $\mathrm{Ind.}(-1)$ erit vel $\equiv 0$, vel $\equiv \frac{p-1}{2}(\mathrm{mod}p-1)$: $0$ vero semper index ipsius $+1$, atque $+1$ et $-1$ semper indices diversos habere debent (praeter casum $p=2$, ad quem hic respicere operae non est pretium).

63.

Ostendimus art. 60, expressionem ${}^n\surd A(\mathrm{mod}p)$ habere $\delta$ valores diversos, aut omnino nullum, si fuerit $\delta$ divisor communis maximus numerorum $n$, $p-1$. Iam uti modo docuimus ${}^n\surd A$ et ${}^{\delta }\surd A$ aequivalentes esse, si fuerit $A\equiv 1$, generalius probabimus, expressionem ${}^n\surd A$ semper ad aliam ${}^{\delta }\surd B$ reduci posse, cui aequivaleat. Illius enim valore quocunque denotato per $x$ erit $x^n\equiv A$; iam