Pagina:Gauss, Carl Friedrich - Werke (1870).djvu/65

55

radices primitivae, indices.

si modo expressionis $\textstyle {}^{2}\!\!\!\surd {-1}{\pmod {29}}$ valores (qui sunt $\pm 12$) innotuerint. Facile enim ex art. praec. perspicitur, huiusmodi expressionum unum valorem semper directe determinari posse, quando $t$ impar, et $d$ fieri $=2$, quando $t$ par; praeter $-1$ autem nullus numerus ad exponentem $2$ pertinet.

Exempla. Quaeritur $\textstyle {}^{3}\!\!\!\surd {31}{\pmod {37}}$. Hic $p-1=36$, $n=3$, ${\tfrac {p-1}{3}}=12$, adeoque $q=3$: debet igitur esse $\textstyle 3k\equiv 1{\pmod {4}}$ quod obtinetur ponendo $k=3$. Hinc $\textstyle z\equiv 31^{3}{\pmod {37}}\equiv 6$, inveniturque revera $\textstyle 6^{3}\equiv 31{\pmod {37}}$. Si valores expressionis $\textstyle {}^{3}\!\!\!\surd {1}{\pmod {37}}$ sunt noti, etiam reliqui expr. ${}^{3}\!\!\!\surd {6}$ valores determinari possunt. Sunt vero illi $1$, $10$, $26$, per quos multiplicando ipsum $6$, prodeunt reliqui $\equiv 23$ et $8$.

Si autem quaeritur valor expr. $\textstyle {}^{2}\!\!\!\surd {3}{\pmod {37}}$, erit $n=2$, ${\tfrac {p-1}{n}}=18$; adeoque $q=2$. Hinc debet esse $\textstyle 2k\equiv 1{\pmod {9}}$, unde fit $\textstyle k\equiv 5{\pmod {9}}$. Quare $\textstyle z\equiv 3^{5}\equiv 21{\pmod {37}}$; at $21^{2}\!$ non $\equiv 3$, sed $\equiv 34$; est autem $\textstyle {\frac {3}{34}}{\pmod {37}}$$\equiv$$-1$, atque $\textstyle {}^{2}\!\!\!\surd {-1}{\pmod {37}}\equiv \pm 6$; unde obtinentur valores veri $\pm 6.21=\pm 15$.

Haec fere sunt, quae hic de talium expressionum evolutione tradere licuit. Palam est, methodos directas satis prolixas saepe evasuras: at hoc incommodum tantum non omnibus methodis directis in numerorum theoria incumbit: neque ideo negligendum censuimus, quantum hic praestare valeant ostendere. Etiam hic observare convenit, artificia particularia quae exercitato haud raro se offerunt sigillatim explicare, non esse instituti nostri.

Nexus indicum in systematibus diversis.

69.

Revertimur nunc ad radices, quas diximus primitivas. Ostendimus, radice primitiva quacunque pro basi assumta omnes numeros, quorum indices ad $p-1$ primi, etiam fore radices primitivas, nullosque praeter hos: unde simul radicum primitivarum multitudo sponte innotescit. V. art. 53. Quamnam autem radicem primitivam pro basi adoptare velimus, in genere arbitrio nostro relinquitur; unde

intelligitur, etiam hic, ut in calculo logarithmico, plura quasi systemata dari posse^[1],

1. In eo autem differunt, quod in logarithmis systematum numerus est infinitus, hic vero tantus, quantus numerus radicum primitivarum. Manifeste enim bases congruae idem systema generant.