Pagina:Gauss, Carl Friedrich - Werke (1870).djvu/66

56

de residuis potestatum.

quae quo vinculo connexa sint videamus. Sint $a$,$b$ duae radices primitivae, aliusque numerus $m$, atque, quando $a$ pro basi assumitur, index numeri $b\equiv \beta$, numeri $m$ vero index $\textstyle \equiv \mu {\pmod {p-1}}$; quando autem $b$ pro basi assumitur, index numeri $a\equiv \alpha$, numeri $m$ vero $\textstyle \equiv \nu {\pmod {p-1}}$. Tum erit $\textstyle \alpha \beta \equiv 1{\pmod {p-1}}$; namque $a^{\beta }\equiv b$, quare $a^{\alpha \beta }$ $\equiv$ $b^{\alpha }$ $\equiv$ $\textstyle a{\pmod {p}}$, (hyp.), hinc $\textstyle \alpha \beta \equiv 1{\pmod {p-1}}$. Per simile ratiocinium invenitur $\nu \equiv \alpha \mu$, atque $\textstyle \mu \equiv \beta \nu {\pmod {p-1}}$. Si igitur tabella indicum pro basi $a$ constructa habetur, facile in aliam converti potest, ubi $b$ basis. Si enim pro basi $a$ ipsius $b$ index est $\equiv \beta$, pro basi $b$ ipsius $a$ index erit $\textstyle \equiv {\frac {1}{\beta }}{\pmod {p-1}}$, multiplicandoque per hunc numerum omnes tabellae indices, habebuntur omnes indices pro basi $b$.

70.

Quamvis autem plures indices numero dato contingere possint, aliis aliisque radicibus primitivis pro basi acceptis, omnes tamen in eo convenient, quod omnes eundem divisorem maximum cum $p-1$ communem habebunt. Si enim pro basi $a$, index numeri dati est $m$, pro basi $b$ vero $n$, atque divisores maximi his cum $p-1$ communes $\mu$, $\nu$ supponuntur esse inaequales, alter erit maior, ex. gr. $\mu >\nu$, adeoque $\mu$ ipsum $n$ non metietur. At designato indice ipsius $a$, quando $b$ pro basi assumitur, per $\alpha$, erit (art. praec.) $\textstyle n\equiv \alpha m{\pmod {p-1}}$ adeoque $\mu$ etiam ipsum $n$ metietur. Q. E. A.

Hunc divisorem maximum indicibus numeri dati, ipsique $p-1$ communem, a basi non pendere, etiam inde perspicuum, quod aequalis est ipsi ${\tfrac {p-1}{t}}$, designante $t$ exponentem ad quem numerus, de cuius indicibus agitur, pertinet. Si enim index pro basi quacunque est $k$, erit $t$ minimus numerus per quem $k$ multiplicatus ipsius $p-1$ multiplum evadit (excepta cifra) vid. artt. 48, 58, sive minimus valor expressionis $\textstyle {\frac {0}{k}}{\pmod {p-1}}$ praeter cifram; hunc autem aequalem esse divisori maximo communi numerorum $k$ et $p-1$, ex art. 29 nullo negotio derivatur.

71.

Porro facile demonstratur, basin ita semper accipere licere, ut numerus ad exponentem $t$ pertinens indicem quemlibet datum nansiscatur, cuius quidem maximus divisor cum $p-1$ communis $={\tfrac {p-1}{t}}$. Designemus hunc brevitatis gratia per $d$, sitque index propositus $\equiv dm$, numerique propositi, quando quaelibet