Pagina:Gauss, Carl Friedrich - Werke (1870).djvu/66

Haec pagina emendata est

56

de residuis potestatum.

quae quo vinculo connexa sint videamus. Sint $a$ , $b$ duae radices primitivae, aliusque numerus $m$ , atque, quando $a$ pro basi assumitur, index numeri $b \equiv β$ , numeri $m$ vero index $\equiv μ (\mod p - 1)$ ; quando autem $b$ pro basi assumitur, index numeri $a \equiv α$ , numeri $m$ vero $\equiv ν (\mod p - 1)$ . Tum erit $α β \equiv 1 (\mod p - 1)$ ; namque $a^{β} \equiv b$ , quare $a^{α β}$ $\equiv$ $b^{α}$ $\equiv$ $a (\mod p)$ , (hyp.), hinc $α β \equiv 1 (\mod p - 1)$ . Per simile ratiocinium invenitur $ν \equiv α μ$ , atque $μ \equiv β ν (\mod p - 1)$ . Si igitur tabella indicum pro basi $a$ constructa habetur, facile in aliam converti potest, ubi $b$ basis. Si enim pro basi $a$ ipsius $b$ index est $\equiv β$ , pro basi $b$ ipsius $a$ index erit $\equiv \frac{1}{β} (\mod p - 1)$ , multiplicandoque per hunc numerum omnes tabellae indices, habebuntur omnes indices pro basi $b$ .

70.

Quamvis autem plures indices numero dato contingere possint, aliis aliisque radicibus primitivis pro basi acceptis, omnes tamen in eo convenient, quod omnes eundem divisorem maximum cum $p - 1$ communem habebunt. Si enim pro basi $a$ , index numeri dati est $m$ , pro basi $b$ vero $n$ , atque divisores maximi his cum $p - 1$ communes $μ$ , $ν$ supponuntur esse inaequales, alter erit maior, ex. gr. $μ > ν$ , adeoque $μ$ ipsum $n$ non metietur. At designato indice ipsius $a$ , quando $b$ pro basi assumitur, per $α$ , erit (art. praec.) $n \equiv α m (\mod p - 1)$ adeoque $μ$ etiam ipsum $n$ metietur. Q. E. A.

Hunc divisorem maximum indicibus numeri dati, ipsique $p - 1$ communem, a basi non pendere, etiam inde perspicuum, quod aequalis est ipsi $\frac{p - 1}{t}$ , designante $t$ exponentem ad quem numerus, de cuius indicibus agitur, pertinet. Si enim index pro basi quacunque est $k$ , erit $t$ minimus numerus per quem $k$ multiplicatus ipsius $p - 1$ multiplum evadit (excepta cifra) vid. artt. 48, 58, sive minimus valor expressionis $\frac{0}{k} (\mod p - 1)$ praeter cifram; hunc autem aequalem esse divisori maximo communi numerorum $k$ et $p - 1$ , ex art. 29 nullo negotio derivatur.

71.

Porro facile demonstratur, basin ita semper accipere licere, ut numerus ad exponentem $t$ pertinens indicem quemlibet datum nansiscatur, cuius quidem maximus divisor cum $p - 1$ communis $= \frac{p - 1}{t}$ . Designemus hunc brevitatis gratia per $d$ , sitque index propositus $\equiv d m$ , numerique propositi, quando quaelibet