Pagina:Gauss, Carl Friedrich - Werke (1870).djvu/67

57

radices primitivae, indices.

radix primitiva $a$ pro basi accipitur, index $\equiv dn$, eruntque $m$, $n$ ad ${\tfrac {p-1}{d}}$ sive ad $t$ primi. Tum si $\varepsilon$ est valor expressionis $\textstyle {\frac {dn}{dm}}{\pmod {p-1}}$, simulque ad $p-1$ primus, erit $a^{\varepsilon }$ radix primitiva, qua pro basi accepta numerus propositus indicem $dm$ adipiscetur (erit enim $a^{\varepsilon dm}\equiv a^{dn}\equiv$ numero proposito), id quod desiderabatur. Sed expressionem $\textstyle {\frac {dn}{dm}}{\pmod {p-1}}$ valores ad $p-1$ primos admittere, ita probatur. Aequivalet illa expressio huic: $\textstyle {\frac {n}{m}}{\pmod {\frac {p-1}{d}}}$ sive $\textstyle {\frac {n}{m}}{\pmod {t}}$ vid. art. 31, 2, eruntque omnes eius valores ad $t$ primi; si enim aliquis valor $e$ divisorem cum $t$ communem haberet, hic divisor etiam ipsum $me$ metiri deberet, adeoque etiam ipsum $n$, cui $me$ secundum $t$ congruus, contra hypoth., ex qua $n$ ad $t$ primus. Quando igitur omnes divisores primi ipsius $p-1$ etiam ipsum $t$ metiuntur, omnes expr. $\textstyle {\frac {n}{m}}{\pmod {t}}$ valores ad $p-1$ primi erunt multitudoque eorum $=d$; quando autem $p-1$ alios adhuc divisores primos, $f,g,h$ etc. implicat, ipsum $t$ non metientes, ponatur valor quicunque expr. $\textstyle {\frac {n}{m}}{\pmod {t}}\equiv e$. Tum autem quia omnes $t,f,g,h$ etc. inter se primi, inveniri potest numerus $\varepsilon$, qui secundum $t$ ipsi $e$, secundum $f,g,h$ etc. vero numeris quibuscunque ad hos respective primis fiat congruus (art. 32). Talis itaque numerus per nullum factorem primum ipsius $p-1$ divisibilis adeoque ad $p-1$ primus erit, uti desiderabatur. Tandem haud difficile ex combinationum theoria deducitur, talium valorum multitudinem fore $\textstyle ={\frac {p-1\,.f-1\,.g-1\,.h-1\,.\ \mathrm {etc.} }{\ \ t\,\ \ .\ \ f\ \ .\ \ g\ \ \,.\ \ h\ \ .\ \mathrm {etc.} }}$; sed ne digressio haec in nimiam molem excrescat, demonstrationem, quum ad institutum nostrum non sit adeo necessaria, omittimus.

Bases usibus peculiaribus accommodatae.

72.

Quamvis in genere prorsus arbitrarium sit, quaenam radix primitiva pro basi adoptetur, interdum tamen bases aliae prae aliis commoda quaedam peculiaria praebere possunt. In tabula I semper numerum $10$ pro basi assumsimus, quando fuit radix primitiva; alioquin basin ita semper determinavimus, ut numeri $10$ index evaserit quam minimus, i. e. $={\tfrac {p-1}{t}}$ denotante $t$ exponentem, ad quem $10$ pertinuit. Quid vero hinc lucremur, in Sect. VI ostendemus, ubi eadem tabula ad alios adhuc usus adhibebitur. Sed quoniam etiam hic aliquid arbitrarii remanere potest, ut ex art. praec. apparet: ut aliquid certi statueremus, ex omnibus radicibus primitivis quaesitum praestantibus minimam semper pro basi elegimus. Ita pro $p=73$, ubi $t=8$ atque $d=9$, $a^{\varepsilon }$ habet ${\tfrac {72.2}{8.3}}$ i. e. $6$ valores, qui sunt $5,14,20,28,39,40$. Assumsimus itaque minimum $5$ pro basi.

I. 8