Pagina:Gauss, Carl Friedrich - Werke (1870).djvu/69

Haec pagina emendata est

59

radices primitivae, indices.

stas ${\tfrac {u}{n}}$ ^ta ipsius $b$ , $\textstyle \equiv B{\pmod {p}}$ , eritque productum $AB$ numerus ad exponentem $y$ pertinens; facile enim intelligitur, $A$ ad exponentem $m$ , $B$ ad exponentem $n$ pertinere; adeoque productum $AB$ ad $mn$ pertinebit, quia $m$ , $n$ inter se sunt primi, id quod prorsus eodem modo uti in art. 55, II processimus probari poterit.

3°. Iam si $y=p-1$ , $AB$ erit radix primitiva; sin minus, simili modo ut antea alius numerus adhibendus erit, in periodo ipsius $AB$ non occurrens; eritque hic aut radix primitiva, aut pertinebit ad exponentem ipso $y$ maiorem, aut certe ipsius auxilio (uti ante) numerus ad exponentem ipso $y$ maiorem pertinens inveniri poterit. Quum igitur numeri qui per repetitionem huius operationis prodeunt, ad exponentes continuo crescentes pertineant, manifestum est tandem numerum inventum iri, qui ad exponentem maximum pertineat, i. e. radicem primitivam, q. e. f.

74.

Per exemplum praecepta haec clariora fient. Sit $p=73$ , pro quo radix primitiva quaeratur. Tentemus primo numerum $2$ , cuius periodus prodit haec:

1.	2.	4.	8.	16.	32.	64.	55.	37.	1.	etc.
0.	1.	2.	3.	4.	5.	6.	7.	8.	9.	etc.

Quum igitur iam potestas exponentis $9$ unitati congrua fiat, $2$ non est radix primitiva. Tentetur alius numerus in periodo ipsius $2$ non occurrens ex. gr. $3$ , cuius periodus est haec:

1.	3.	9.	27.	8.	24.	72.	70.	64.	46.	65.	49.	1.	etc.
0.	1.	2.	3.	4.	5.	6.	7.	8.	9.	10.	11.	12.	etc.

Quare neque $3$ est radix primitiva. Exponentium autem ad quos $2$ , $3$ pertinent, (i.e. numerorum $9$ , $12$ ) dividuus communis minimus est $36$ , qui in factores $9$ et $4$ ad praecepta art. praec. resolvitur. Evehendus itaque $2$ ad potestatem exponentis ${\tfrac {9}{9}}$ , i. e. numerus $2$ ipse retinendus; $3$ autem ad potestatem exponentis $3$ : productum ex his est $54$ , quod itaque ad exponentem $36$ pertinebit. Si denique ipsius $54$ periodus computatur numerusque in hac non contentus ex. gr. $5$ denuo tentatur, hunc esse radicem primitivam, reperietur.

merorum $t$ , $u$ metietur (sive etiam utrumque). Adscribantur singuli aut numero $t$ aut numero $u$ , prout illum aut hunc metiuntur: quando aliquis utrumque metitur, arbitrarium est, cui adscribatur: productum ex iis qui ipsi $t$ adscripti sunt, sit $=m$ , productum e reliquis $=n$ , facileque perspicietur $m$ ipsum $t$ , $n$ ipsum $u$ metiri, atque esse $mn=y$ .

8 *