Pagina:Gauss, Carl Friedrich - Werke (1870).djvu/70

60

de residuis potestatum.

Theoremata varia de periodis et radicibus primitivis.

75.

Antequam hoc argumentum deseramus, propositiones quasdam trademus, quae ob simplicitatem suam attentione haud indignae videntur.

Productum ex omnibus terminis periodi numeri cuiusvis est $\equiv 1$, quando ipsorum multitudo, sive exponens ad quem numerus pertinet, est impar, et $\equiv -1$, quando ille exponens est par.

Ex. Pro modulo $13$ periodus numeri $5$ constat ex his terminis $1,5,12,8$ quorum productum $\textstyle 480\equiv -1{\pmod {13}}$.

Secundum eundem modulum periodus numeri $3$ constat e terminis $1,3,9$ quorum productum $\textstyle 27\equiv 1{\pmod {13}}$.

Demonstr. Sit exponens, ad quem numerus pertinet, $t$, atque index numeri, ${\tfrac {p-1}{t}}$, id quod si basis rite determinatur, semper fieri potest (art. 71). Tum index producti ex omnibus periodi terminis erit $\equiv (1+2+3+\mathrm {etc.} +t-1){\tfrac {p-1}{t}}={\tfrac {(t-1)(p-1)}{2}}$ i. e. $\textstyle \equiv 0{\pmod {p-1}}$, quando $t$ impar, et $\equiv {\tfrac {p-1}{2}}$, quando $t$ par; hinc in priori casu productum illud $\textstyle \equiv 1{\pmod {p}}$; in posteriori vero $\textstyle \equiv -1{\pmod {p}}$, (art. 62). Q. E. D.

76.

Si numerus iste in theor. praecedente est radix primitiva, eins periodus omnes numeros $1,2,3\ldots p-1$ comprehendet, quorum productum itaque semper $\equiv -1$ (namque $p-1$ semper par, unico casu $2$ excepto in quo $-1$ et $+1$ aequivalent). Theorema hoc elegans quod ita enunciari solet: productum ex omnibus numeris numero primo dato minoribus, unitate auctum per hunc primum est divisibile, primum a cel. Waring est prolatum armigeroque Wilson adscriptum, Meditt. algebr. Ed. 3. p. 380. Sed neuter demonstrare potuit, et cel. Waring fatetur demonstrationem eo difficiliorem videri, quod nulla notatio fingi possit, quae numerum primum exprimat. — At nostro quidem iudicio huiusmodi veritates ex notionibus potius quam ex notationibus hauriri debebant. Postea ill. La Grange demonstrationem dedit, Nouv. Mém. de l'Ac. de Berlin, 1771. Innititur ea consi-