Pagina:Gauss, Carl Friedrich - Werke (1870).djvu/74

Haec pagina emendata est

64

de residuis potestatum.

festa erit. Quando enim $p-1$ per quadratum aliquod divisibilis est, aliquis exponentium $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ etc. unitatem superabit, adeoque aliquis factorum, quorum producto congrua est summa omnium radicum primitivarum, erit $\equiv 0$ , et proin etiam productum ipsum: quando vero $p-1$ per nullum quadratum dividi potest, omnes exponentes $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ etc. erunt $=1$ , unde summa omnium radicum primitivarum congrua erit producto ex tot factoribus, quorum quisque $\equiv -1$ , quot habentur numeri $a$ , $b$ , $c$ etc. , adeoque erit $\equiv \pm 1$ , prout horum numerorum multitudo par vel impar. Illa autem ita probantur.

1°. Quando $\alpha =1$ atque $A$ numerus ad exponentem $a$ pertinens, reliqui numeri ad hunc exponentem pertinentes erunt $A^{2},A^{3}\ldots A^{a-1}$ . At $1+A+A^{2}+A^{3}\ldots +A^{a-1}$ est summa periodi completae, adeoque $\equiv 0$ (art. 79), quare $A+A^{2}+A^{3}\ldots +A^{a-1}\equiv -1$

2°. Quando autem $\alpha >1$ , atque $A$ numerus ad exponentem $a^{\alpha }$ pertinens, reliqui numeri ad hunc exponentem pertinentes habebuntur, si ex his $A^{2},A^{3},A^{4}\ldots A^{a^{\alpha }-1}$ reiiciuntur $A^{a},A^{2a},A^{3a}$ etc., vid art. 53; quare summa eorum erit $\equiv 1+A+A^{2}\ldots +A^{a^{\alpha }-1}-(1+A^{a}+A^{2a}\ldots +A^{a^{\alpha }-a})$ i. e. congrua differentiae duarum periodorum, adeoque $\equiv 0$ . Q. E. D.

De modulis qui sunt numerorum primorum potestates.

82.

Omnia quae hactenus exposuimus innituntur suppositioni, modulum esse numerum primum. Superest ut eum quoque casum consideremus, ubi pro modulo assumitur numerus compositus. Attamen quum hic neque proprietates tam elegantes eniteant, quam in casu priori, neque ad eas inveniendas artificiis subtilibus sit opus, sed potius omnia fere per solam principiorum praecedentium applicationem erui possint, omnes minutias hic exhaurire superfluum atque taediosum foret. Breviter itaque quae huic casui cum priori sint communia quaeque propria exponemus.