Pagina:Gauss, Carl Friedrich - Werke (1870).djvu/78

68

de residuis potestatum.

$\textstyle \equiv t\alpha ^{t-1}+{\frac {(t-1)t}{2}}\alpha ^{t-2}hp{\pmod {p^{2}}}$

At quoniam $t$ per $p$ divisibilis, etiam ${\tfrac {(t-1)t}{2}}$ per $p$ divisibilis erit in omnibus casibus excepto eo ubi $p=2$ de quo iam in art. praec. monuimus. In reliquis autem casibus erit $\textstyle {\frac {(t-1)t}{2}}\alpha ^{t-2}hp\equiv 0{\pmod {p^{2}}}$, adeoque etiam illud aggregatum $\textstyle \equiv t\alpha ^{t-1}{\pmod {p^{2}}}$ ut in art. praec. In reliquis demonstratio hic eodem modo procedit ut istic.

Colligimus igitur generaliter, unico casu $p=2$ excepto, esse $\textstyle (\alpha +hp^{\mu })^{t}\equiv \alpha ^{t}{\pmod {p^{\mu +\nu }}}$ et $(\alpha +hp^{\mu })^{t}$ non $\equiv \alpha ^{t}\!$ pro quovis modulo qui sit altior potestas ipsius $p$, quam haec $p^{\mu +\nu }\!$, quoties quidem $h$ per $p$ non est divisibilis, atque $p^{\nu }\!$ potestas suprema ipsius $p$ quae numerum $t$ dividit.

Hinc protinus derivantur propositiones 1. et 2, quas art. 85 demonstrandas nobis proposueramus: scilicet

primo, si $\alpha ^{t}\equiv 1$, erit etiam $\textstyle (\alpha +hp^{n-\nu })^{t}\equiv 1{\pmod {p^{n}}}$;

secundo si numerus aliquis $\alpha '$ ipsi $A$ adeoque etiam ipsi $\alpha$ secundum modulum $p$ congruus, neque vero huic secundum modulum $p^{n-\nu }$, congruentiae $\textstyle x^{t}\equiv 1{\pmod {p^{n}}}$ satisfaceret , ponamus $\alpha '$ esse $=\alpha +lp^{\lambda }\!$ ita ut $l$ per $p$ non sit divisibilis, eritque $\lambda <n-\nu$, tunc autem $(\alpha +lp^{\lambda })^{t}\!$ secundum modulum $p^{\lambda +\nu }\!$ ipsi $\alpha ^{t}$ congruus erit, non autem secundum modulum $p^{n}\!$, quae est altior potestas, quare $\alpha '$ radix congruentiae $x^{t}\equiv 1$ esse nequit.

88.

Tertium vero fuit radicem aliquam congruentiae $\textstyle x^{t}\equiv 1{\pmod {p^{n}}}$, ipsi $A$ congruam, invenire. Ostendemus hic tantummodo, quomodo hoc fieri possit, si iam radix eiusdem congruentiae secundum modulum $p^{n-1}\!$ innotuerit; manifesto hoc sufficit, quum a modulo $p$ pro quo $A$ est radix, ad modulum $p^{2}\!$, sicque deinceps ad omnes potestates consecutivas progredi possimus.

Esto itaque $\alpha$ radix congruentiae $\textstyle x^{t}\equiv 1{\pmod {p^{n-1}}}$, quaeriturque radix eiusdem congruentiae secundum modulum $p^{n}\!$, ponatur haec $=\alpha +hp^{n-\nu -1}$, quam formam eam habere debere ex art. praec. sequitur (casum ubi $\nu =n-1$