Pagina:Gauss, Carl Friedrich - Werke (1870).djvu/79

69

moduli qui sunt potestates binarii.

postea seorsim considerabimus : maior vero quam $n-1$, $\nu$ esse nequit). Debet itaque esse $\textstyle (\alpha +hp^{n-\nu -1})^{t}\equiv 1{\pmod {p^{n-1}}}$ At $\textstyle (\alpha +hp^{n-\nu -1})^{t}\equiv \alpha ^{t}+\alpha ^{t-1}htp^{n-\nu -1}{\pmod {p^{n}}}$
Si itaque $h$ ita determinatur, ut fiat $\textstyle 1\equiv \alpha ^{t}+\alpha ^{t-1}htp^{n-\nu -1}{\pmod {p^{n}}}$; sive (quia per hyp. $\textstyle 1\equiv \alpha ^{t}{\pmod {p^{n-1}}}$ atque $t$ per $p^{\nu }\!$ divisibilis) ita ut fiat $\textstyle {\frac {\alpha ^{t}-1}{p^{n-1}}}+\alpha ^{t-1}h{\frac {t}{p^{\nu }}}$ per $p$ divisibilis, quaesito satisfactum erit. Hoc autem semper fieri posse ex Sect. praec. manifestum, quum $t$ per altiorem ipsius $p$ potestatem quam $p^{\nu }\!$ dividi non posse hic supponamus, adeoque $\alpha ^{t-1}{\frac {t}{p^{\nu }}}$ ad $p$ sit primus.

Si vero $\nu =n-1$ i. e. $t$ per $p$ sive etiam per altiorem ipsius $p$ potestatem divisibilis, quivis valor $A$ congruentiae $x^{t}\equiv 1$ secundum modulum $p$ satisfaciens eidem etiam secundum modulum $p^{n}\!$ satisfaciet. Sit enim $t=p^{n-1}\tau$, eritque $\textstyle \tau \equiv t{\pmod {p-1}}$: quare quoniam $\textstyle A^{t}\equiv 1{\pmod {p}}$, erit etiam $\textstyle A^{\tau }\equiv 1{\pmod {p}}$. Ponatur itaque $A^{\tau }=1+hp$ eritque $\textstyle A^{t}=(1+hp)^{p^{n-1}}\equiv 1{\pmod {p^{n}}}$ art. 87.

89.

Omnia quae art. 57 sqq. adiumento theorematis, congruentiam $x^{t}\equiv 1$ plures quam $t$ radices diversas non habere eruimus, etiam pro modulo qui est numeri primi potestas locum habent, et si radices primitivae vocantur numeri, qui ad exponentem $p^{n-1}(p-1)$ pertinent, sive in quorum periodis omnes numeri per $p$ non divisibiles inveniuntur, etiam hic radices primitivae exstabunt. Omnia autem quae supra de indicibus eorumque usu tradidimus, necnon de solutione congruentiae $x^{t}\equiv 1$, ad hunc quoque casum applicari possunt. Quae quum nulli difficultati obnoxia sint, omnia ex integro repetere superfluum foret. Praeterea radices congruentiae $x^{t}\equiv 1$ secundum modulum $p^{n}\!$ e radicibus eiusdem congruentiae secundum $p$ deducere docuimus. Sed de eo casu ubi potestas aliqua numeri $2$ est modulus, quia supra exceptus fuit, aliqua adhuc sunt adiicienda.

Moduli qui sunt potestates binarii.

90.

Si potestas aliqua numeri $2$, altior quam secunda, puta $2^{n}\!$ pro modulo accipitur, numeri cuiusvis imparis potestas exponentis $p^{n-2}\!$, unitati est congrua.