Pagina:Gauss, Carl Friedrich - Werke (1870).djvu/80

Haec pagina emendata est

70

de residuis potestatum.

Ex. gr. $3^{8} = 6561 \equiv 1 (\mod 32)$ .

Quivis enim numerus impar vel sub forma $1 + 4 h$ , vel sub hac $- 1 + 4 h$ comprehenditur: unde propositio protinus sequitur (theor. art. 86).

Quoniam igitur exponens, ad quem quicunque numerus impar secundum modulum $2^{n}$ pertinet, divisor ipsius $2^{n - 2}$ esse debet, quivis ad aliquem horum numerum pertinebit $1, 2, 4, 8 \dots 2^{n - 2}$ , ad quemnam vero pertineat, ita facile diiudicatur. Sit numerus propositus $= 4 h \pm 1$ , atque exponens maximae potestatis numeri $2$ , quae ipsum $h$ metitur, $= m$ (qui etiam $= 0$ esse potest, quando scilicet $h$ est impar); tum exponens, ad quem numerus propositus pertinet, erit $2^{n - m - 2}$ , siquidem $n > m + 2$ si autem $n =$ vel $< m + 2$ , numerus propositus est $\equiv \pm 1$ adeoque vel ad exponentem $1$ vel ad exponentem $2$ pertinebit. Numerum enim formae $\pm 1 + 2^{m + 2} k$ , (quae huic aequivalet , $4 h \pm 1$ ) ad potestatem exponentis $2^{n - m - 2}$ elevatum unitati secundum modulum $2^{n}$ congruum fieri, ad potestatem autem exponentis, qui est inferior numeri $2$ potestas, incongruum, ex art. 86 nullo negotio deducitur. Numerus itaque quicunque formae $8 k + 3$ vel $8 k + 5$ ad exponentem $2^{n - 2}$ pertinebit.

91.

Hinc patet eo sensu, quo supra expressionem accepimus, radices primitivas hic non dari, nullos scilicet numeros, quorum periodus omnes numeros modulo minores ad ipsumque primos amplectatur. Attamen facile perspicitur, analogon hic haberi. Invenitur enim, numeri formae $8 k + 3$ potestatem exponentis imparis semper esse formae $8 k + 3$ , potestatem autem exponentis paris, semper formae $8 k + 1$ ; nulla igitur potestas formae $8 k + 5$ aut $8 k + 7$ esse potest. Quare quum periodus numeri formae $8 k + 3$ , ex $2^{n - 2}$ terminis diversis constet, quorum quisque aut formae $8 k + 3$ aut huius $8 k + 1$ , neque plures huiusmodi numeri modulo minores dentur quam $2^{n - 2}$ , manifesto quivis numerus formae $8 k + 1$ vel $8 k + 3$ congruus est secundum modulum $2^{n}$ potestati alicui numeri cuiuscunque formae $8 k + 3$ . Simili modo ostendi potest periodum numeri formae $8 k + 5$ comprehendere omnes numeros formarum $8 k + 1$ et $8 k + 5$ . Si igitur numerus formae $8 k + 5$ pro basi assumitur, omnes numeri formae $8 k + 1$ et $8 k + 5$ , positive, omnesque formae $8 k + 3$ et $8 k + 7$ , negative sumti, indices reales nanciscentur, et quidem hic indices secundum $2^{n - 2}$ congrui pro aequivalentibus sunt habendi. Hoc modo tabula nostra I intelligenda, ubi pro modulis $16$ , $32$ et $64$