Pagina:Gauss, Carl Friedrich - Werke (1870).djvu/87

Haec pagina emendata est

77

moduli qui sunt numeri compositi.

utrum numerus compositus sit residuum necne, si modo, quid sint singuli ipsius factores constet. Quamobrem in tabula II numeros primos tantummodo recepimus. Oeconomia huius tabulae haec est. In margine positi sunt moduli^[1], in facie vero numeri primi successivi; quando ex his aliquis fuit residuum moduli alicuius, in spatio utrique respondente lineola collocata est, quando vero numerus primus fuit non-residuum moduli, spatium respondens vacuum mansit.

De modulis, qui sunt numeri compositi.

100.

Antequam ad difficiliora progrediamur, quaedam de modulis non primis adiicienda sunt.

Si numeri primi $p$ , potestas aliqua $p^{n}$ pro modulo assumitur (ubi $p$ non esse $2$ supponimus), omnium numerorum per $p$ non divisibilium moduloque minorum altera semissis erunt residua, altera non-residua, i. e. utrorumque multitudo $= \frac{1}{2} (p - 1) p^{n - 1}$ .

Si enim $r$ est residuum: quadrato alicui congruus erit, cuius radix moduli dimidium non superat, vid. art. 94. Iam facile perspicitur, dari $\frac{1}{2} (p - 1) p^{n - 1}$ numeros per $p$ non divisibiles modulique semisse minoribus; superest itaque ut demonstretur, omnium horum numerorum quadrata incongrua esse, sive residua quadratica diversa suppeditare. Quodsi duorum numerorum $a, b$ per $p$ non divisibilium modulique semisse minorum quadrata essent congrua, foret $a a - b b$ sive $(a - b) (a + b)$ per $p^{n}$ divisibilis (posito i. q. licet $a > b$ ). Hoc vero fieri non potest, nisi vel alter numerorum $a - b$ , $a + b$ per $p^{n}$ fuerit divisibilis, quod fieri nequit, quoniam uterque $< p^{n}$ , vel alter per $p^{m}$ alter vero per $p^{n - m}$ , i. e. uterque per $p$ . Sed etiam hoc fieri nequit. Manifesto enim etiam summa et differentia $2 a$ et $2 b$ per $p$ foret divisibilis adeoque etiam $a$ et $b$ contra hyp. — Hinc tandem colligitur inter numeros per $p$ non divisibiles moduloque minores $\frac{1}{2} (p - 1) p^{n}$ residua dari, reliquos quorum multitudo aeque magna, esse non-residua, Q. E. D. — Potest etiam theorema hoc ex consideratione indicum derivari simili modo ut art. 97.

101.

Quivis numerus per $p$ non divisibilis, qui ipsius $p$ est residuum, erit residuum

↑ Quomodo etiam modulis compositis carere possimus, mox docebimus.

[1] Quomodo etiam modulis compositis carere possimus, mox docebimus.

[1]