Pagina:Gauss, Carl Friedrich - Werke (1870).djvu/88

78

de congruentiis secundi gradus.

etiam ipsius $p^{n}\!$; qui vero ipsius $p$ est non-residuum, etiam ipsius $p^{n}\!$ non-residuum erit.

Pars posterior huius propositionis per se est manifesta. Si itaque prior falsa esset, inter numeros ipso $p^{n}\!$ minores simulque per $p$ non divisibiles plures forent residua ipsius $p$ quam ipsius $p^{n}\!$, i. e. plures quam ${\scriptstyle {\frac {1}{2}}}p^{n-1}(p-1)$. Nullo vero negotio perspici poterit, multitudinem residuorum numeri $p$ inter illos numeros esse praecise $={\scriptstyle {\frac {1}{2}}}p^{n-1}(p-1)$.

Aeque facile est, quadratum reipsa invenire, quod secundum modulum $p^{n}\!$ residuo dato sit congruum, si quadratum huic residuo secundum modulum $p$ congruum habetur.

Scilicet si quadratum habetur, $aa$, quod residuo dato $A$ secundum modulum $p^{\mu }\!$ est congruum, deducitur inde quadratum ipsi $A$ secundum modulum $p^{\nu }\!$ congruum (ubi $\nu >\mu$ et $=$ vel $<2\mu$ supponitur) sequenti modo. Ponatur radix quadrati quaesiti $=\pm a+xp^{\mu }\!$, quam formam eam habere debere facile perspicitur; debetque esse $aa\pm 2axp^{\mu }+xxp^{2\mu }$ $\equiv$ $\textstyle A{\pmod {p^{\nu }}}$ sive propter $2\mu >\nu$, $A-aa$ $\equiv$ $\textstyle \pm 2axp^{\mu }\!{\pmod {p^{\nu }}}$. Sit $A-aa=p^{\mu }d$, eritque $x$ valor expressionis $\textstyle \pm {\frac {d}{2a}}{\pmod {p^{\nu -\mu }}}$, quae huic $\textstyle \pm {\frac {A-aa}{2ap^{\mu }}}{\pmod {p^{\nu }}}$ aequivalet.

Dato igitur quadrato ipsi $A$ secundum $p$ congruo, deducitur inde quadratum ipsi $A$ secundum modulum $p^{2}\!$ congruum; hinc ad modulum $p^{4}\!$, hinc ad $p^{8}\!$ etc. ascendi poterit.

Ex. Proposito residuo 6, quod secundum modulum 5 quadrato 1 congruum, invenitur quadratum 9² cui secundum 25 est congruum, 16² cui secundum 125 congruum etc.

102.

Quod vero attinet ad numeros per $p$ divisibiles, patet, eorum quadrata per $pp$ fore divisibilia, adeoque omnes numeros per $p$ quidem divisibiles, neque vero per $pp$, ipsius $p^{n}\!$ fore non-residua. Generaliter vero, si proponitur numerus $p^{k}A\!$, ubi $A$ per $p$ non est divisibilis, hi casus erunt distinguendi:

1) Quando $k=$ vel $>n$, erit $\textstyle p^{k}A\equiv 0{\pmod {p^{n}}}$, i. e. residuum.

2) Quando $k<n$ atque impar, erit $p^{k}A$ non-residuum.

Si enim esset $p^{k}A$ $=$ $p^{2\kappa +1}A$ $\equiv$ $\textstyle ss{\pmod {p^{n}}}$, $ss$ per $p^{2\kappa +1}\!$ divisibilis esset, id quod aliter fieri nequit, quam si fuerit $s$ per $p^{\kappa +1}\!$ divisibilis. Tunc vero $ss$