Pagina:Gauss, Carl Friedrich - Werke (1870).djvu/89

Haec pagina emendata est

79

moduli qui sunt numeri compositi.

etiam per $p^{2 κ + 2}$ divisibilis, adeoque etiam (quia $2 κ + 2$ certo non maior quam $n$ ) $p^{k} A$ i. e. $p^{2 κ + 1} A$ ; sive $A$ per $p$ , contra hyp.

3) Quando $k < n$ atque par. Tum $p^{k} A$ erit residuum vel non-residuum ipsius $p^{n}$ , prout $A$ est residuum vel non-residuum ipsius $p$ . Quando enim $A$ est residuum ipsius $p$ , erit etiam residuum ipsius $p^{n - k}$ . Posito autem $A \equiv a a (\mod p^{n - k})$ erit $A p^{k} \equiv a a p^{k} (\mod p^{n})$ , $a a p^{k}$ vero est quadratum. Quando autem $A$ est non-residuum ipsius $p$ , $p^{k} A$ residuum ipsius $p^{n}$ esse nequit. Ponatur enim $p^{k} A \equiv a a (\mod p^{n})$ , eritque necessario $a a$ per $p^{k}$ divisibilis. Quotiens erit quadratum, cui $A$ secundum modulum $p^{n - k}$ adeoque etiam secundum modulum $p$ congruus, i. e. $A$ erit residuum ipsius $p$ contra hyp.

103.

Quoniam casum $p = 2$ exclusimus, de hoc adhuc quaedam dicenda. Quando numerus $2$ est modulus, numerus quicunque erit residuum, non-residua nulla erunt. Quando vero $4$ est modulus, omnes numeri impares formae $4 k + 1$ erunt residua, omnes vero formae $4 k + 3$ non-residua. Tandem quando $8$ aut altior potestas numeri $2$ est modulus, omnes numeri impares formae $8 k + 1$ erunt residua, reliqui vero, seu ii qui sunt formarum $8 k + 3$ , $8 k + 5$ , $8 k + 7$ , erunt non-residua. Pars posterior huius propositionis inde clara, quod quadratum cuiusvis numeri imparis, sive sit formae $4 k + 1$ , sive formae $4 k - 1$ , fit formae $8 k + 1$ . Priorem ita probamus.

1) Si duorum numerorum vel summa vel differentia per $2^{n - 1}$ est divisibilis, numerorum quadrata erunt congrua secundum modulum $2^{n}$ . Si enim alter ponitur $= a$ , erit alter formae $2^{n - 1} h \pm a$ , cuius quadratum invenitur $\equiv a a (\mod 2^{n})$ .

2) Quivis numerus impar, qui ipsius $2^{n}$ est residuum quadraticum, congruus erit quadrato alicui, cuius radix est numerus impar et $< 2^{n - 2}$ . Sit enim quadratum quodcunque, cui numerus ille congruus, $a a$ atque numerus $a \equiv \pm α (\mod 2^{n - 1})$ , ita ut $α$ moduli semissem non superet (art. 4), eritque $a a \equiv α α$ . Quare etiam numerus propositus erit $\equiv α α$ . Manifesto vero tum $a$ tum $α$ erunt impares atque $α < 2^{n - 2}$ .

3) Omnium numerorum imparium ipso $2^{n - 2}$ minorum quadrata secundum $2^{n}$ incongrua erunt. Sint enim duo tales numeri $r$ et $s$ , quorum quadrata si secundum $2^{n}$ essent congrua, foret $(r - s) (r + s)$ per $2^{n}$ divisibilis (posito $r > s$ ). Facile vero perspicitur numeros $r - s$ , $r + s$ simul per $4$ divisibiles esse non