Pagina:Gauss, Carl Friedrich - Werke (1870).djvu/90

Haec pagina emendata est

80

de congruentiis secundi gradus.

posse, quare si alter tantummodo per $2$ est divisibilis, alter, ut productum per $2^{n}$ divisibilis fieret, per $2^{n - 1}$ divisibilis esse deberet, Q. E. A. quoniam uterque $< 2^{n - 2}$ .

4) Quodsi denique haec quadrata ad residua sua minima positiva reducuntur, habebuntur $2^{n - 3}$ residua quadratica diversa modulo minora^[1], quorum quodvis erit formae $8 k + 1$ . Sed quum praecise $2^{n - 3}$ numeri formae $8 k + 1$ modulo minores exstent, necessario hi omnes inter illa residua reperientur. Q. E. D.

Ut quadratum numero dato formae $8 k + 1$ secundum modulum $2^{n}$ congruum inveniatur, methodus similis adhiberi potest, ut in art. 101; vid. etiam art. 88. — Denique de numeris paribus eadem valent, quae art. 102 generaliter exposuimus.

104.

Circa multitudinem valorum diversorum (i. e. secundum modulum incongruorum), quos expressio talis $V = \sqrt A (\mod p^{n})$ admittit, siquidem $A$ est residuum ipsius $p^{n}$ facile e praecc. colliguntur haec. (Numerum $p$ supponimus esse primum, ut ante, et brevitatis caussa casum $n = 1$ statim includimus). I. Si $A$ per $p$ non est divisibilis, $V$ unum valorem habet pro $p = 2$ , $n = 1$ , puta $V \equiv 1$ ; duos, quando $p$ est impar, nec non pro $p = 2$ , $n = 2$ , puta ponendo unum $\equiv v$ , alter erit $\equiv - v$ ; quatuor pro $p = 2$ , $n > 2$ , scilicet ponendo unum $\equiv v$ , reliqui erunt $\equiv - v$ , $2^{n - 1} + v$ , $2^{n - 1} - v$ . II. Si $A$ per $p$ divisibilis est, neque vero per $p^{n}$ , sit potestas altissima ipsius $p$ ipsum $A$ metiens $p^{2 μ}$ (manifesto enim ipsius exponens par esse debebit) atque $A = a p^{2 μ}$ . Tunc patet, omnes valores ipsius $V$ per $p^{μ}$ divisibiles esse, et quotientes e divisione ortos fieri valores expr. $V^{'} = \sqrt a (\mod p^{n - 2 μ})$ ; hinc omnes valores diversi ipsius $V$ prodibunt, multiplicando omnes valores expr. $V^{'}$ inter $0$ et $p^{n - μ}$ sitos per $p^{μ}$ quare illi exhibebuntur per $v p^{μ}, v p^{μ} + p^{n - μ}, v p^{μ} + 2 p^{n - μ} \dots v p^{μ} + (p^{μ} - 1) p^{n - μ}$ si $v$ indefinite omnes valores diversos expr. $V^{'}$ exprimit, ita ut illorum multitudo fiat $p^{μ}$ , $2 p^{μ}$ vel $4 p^{μ}$ , prout multitudo horum (per casum I) est $1$ , $2$ vel $4$ . III. Si $A$ per $p^{n}$ divisibilis est, facile perspicietur, statuendo $n = 2 m$ vel $= 2 m - 1$ , prout par est vel impar, omnes numeros per $p^{m}$ divisibiles, neque ullos alios, esse valores ipsius $V$ ; quare omnes valores diversi hi erunt $0$ , $p^{m}$ , $2 p^{m}$ $\dots$ $(p^{n - m} - 1) p^{m}$ , quorum multitudo $p^{n - m}$ .

↑ Puta quoniam multitudo numerorum imparium infra $2^{n - 2}$ est $2^{n - 3}$ .

[1] Puta quoniam multitudo numerorum imparium infra $2^{n - 2}$ est $2^{n - 3}$ .

[1]