undum; contra non-residuum est numerorum 3, 7, 11, 19, 23, 31, 43, 47, 59, 67, 71, 79, 83 etc.
Mentionem huius theor. iam in art. 64 fecimus. Demonstratio vero facile ex art. 106 petitur. Etenim pro numero primo formae est , pro numero autem formae habetur . Convenit haec demonstratio cum ea, quam l. c. tradidimus. Sed propter theorematis elegantiam atque utilitatem non superfluum erit, alio adhuc modo idem ostendisse.
Designemus complexum omnium residuorum numeri primi , quae ipso sunt minora, excluso residuo , per literam , et quoniam horum residuorum multitudo semper , manifestum est, eam fore parem, quoties sit formae , imparem vero, quoties sit formae . Dicantur, ad instar art. 77, ubi de numeris in genere agebatur, residua socia talia, quorum productum ; manifeste enim si est residuum, etiam residuum erit. Et quoniam idem residuum plura socia inter residua habere nequit, patet, omnia residua in classes distribui posse, quarum quaevis bina residua socia contineat. Iam perspicuum est, si nullum residuum daretur, quod sibi ipsi esset socium, i. e. si quaevis classis bina residua inaequalia contineret, omnium residuorum numerum fore duplum numeri omnium classium; quodsi vero aliqua dantur residua sibi ipsis socia i. e. aliquae classes, quae unicum tantum residuum aut, si quis malit, idem residuum bis continent, posita harum classium multitudine , reliquarumque multitudine ; erit omnium residuorum numerus . Quare quando est formae , erit numerus par; quando autem est formae , erit impar. At numeri ipso minores alii, quam et , sibi ipsis socii esse nequeunt (vid. art. 77); priorque certo inter residua occurrit; unde in priori casu (seu quod hic idem valet, ) debet esse residuum, in posteriori vero non-residuum; alias enim in illo casu foret , in hoc autem , quod fieri nequit.
Etiam haec demonstratio ill. Eulero debetur, qui et priorem primus invenit V. Opusc. Anal. T. I. p. 135. — Facile quisquis videbit eam similibus principiis innixam esse, ut demonstratio nostra secunda theor. Wilsoniani art. 77. Si
11*
