Pagina:Gauss, Carl Friedrich - Werke (1870).djvu/95

85

residua $+2$ et $-2$.

$8n+3$, $8n+5$ dabitur, cuius residuum $+2$; sicque nullus certe numerus huius formae infra $100$ exstat, cuius residuum sit $+2$. Si autem ultra hunc limitem tales numeri reperirentur, ponamus minimum omnium $=t$. Erit itaque $t$ vel formae $8n+3$ vel $8n+5$; $+2$ ipsius residuum erit, omnium autem numerorum similium minorum non-residuum. Ponatur $\textstyle 2\equiv aa{\pmod {t}}$ poteritque $a$ ita semper accipi, ut sit impar simulque $<t$, (habebit enim $a$ ad minimum duos valores positives ipso $t$ minores quorum summa $=t$, quorumque adeo alter par alter impar v. artt. 104. 105). Quo facto sit $aa=2+tu$, sive $tu=aa-2$, eritque $aa$ formae $8n+1$, $tu$ igitur formae $8n-1$, adeoque $u$ formae $8n+3$ vel $8n+5$, prout $t$ est formae posterioris vel prioris. At ex aequatione $aa=2+tu$ sequitur, etiam $\textstyle 2\equiv aa{\pmod {u}}$ i. e. $2$ etiam ipsius $u$ residuum fore. Facile vero perspicitur, esse $u<t$, quare $t$ non est minimus numerus inductioni nostrae contrarius contra hyp. Unde manifesto sequitur id quod per inductionem inveneramus, generaliter verum esse.

Combinando haec cum prop. art. 111 sequentia theoremata nanciscimur.

I. Numerorum omnium primorum formae $8n+3$, $+2$ erit non-residuum, $-2$ vero residuum.

II. Numerorum omnium primorum formae $8n+5$ tum $+2$ tum $-2$ erunt non-residua.

113.

Per similem inductionem ex tab. II inveniuntur numeri primi, quorum residuum est $-2$ hi: 3, 11, 17, 19, 41, 43, 59, 67, 73, 83, 89, 97^[1]. Inter quos quum nulli inveniantur formarum $8n+5$, $8n+7$, num etiam haec inductio theorematis generalis vim adipisci possit, investigemus. Ostenditur simili modo ut in art. praec., quemvis numerum compositum formae $8n+5$ vel $8n+7$, factorem primum involvere formae $8n+5$ vel formae $8n+7$, ita ut, si inductio nostra generaliter vera, $-2$ nullius omnino numeri formae $8n+5$ vel $8n+7$ residuum esse possit. Si autem tales numeri darentur, ponatur omnium minimus $=t$, fiatque $-2=aa-tu$. Ubi si uti supra $a$ impar ipsoque $t$ minor accipitur, $u$ erit formae $8n+5$ vel $8n+7$, prout $t$ formae $8n+7$ vel $8n+5$.

At ex eo quod $aa+2=tu$ atque $a<t$, quisquis facile derivare poterit, etiam

1. Considerando scilicet $-2$ tamquam productum ex $+2$ et $-1$. V. art. 111.