Pagina:Gauss, Carl Friedrich - Werke (1870).djvu/98

E Wikisource
Jump to navigation Jump to search
Haec pagina nondum emendata est


nicavit. Postea ab ill. Eulero frustra semper est investigata: at ill. La Grange primus demonstrationem rigorosam reperit, Nouv. Mém. de l'Ac. de Berlin 1775. p. 349, 351. Quod ill. Eulerum adhuc latuisse videtur, quando scripsit diss. in Opusc. Analyt. conservatam, T. I. p. 259.

Residua +3 et -3.
117.

Pergimus ad residua +3 et -3. A posteriori initium faciamus.

Reperiuntur ex tab. II numeri primi, quorum residuum est -3, hi: 3,7, 13, 19, 31, 37, 43, 61, 67, 73, 79, 97, inter quos nullus invenitur formae 6n+5. Quod vero etiam ultra tabulae limites nulli primi huius formae dantur, quorum residuum -3, ita demonstramus: Primo patet, quemvis numerum compositum formae 6n+5 necessario factorem primum aliquem eiusdem formae involvere. Quousque igitur nulli numeri primi formae 6n+5 dantur, quorum residuum -3, eousque tales etiam compositi non dabuntur. Quodsi vero ultra tabulae nostrae limites tales numeri darentur, sit omnium minimus = t, ponaturque -3 = aa-tu. Tunc erit, si acceperis a parem ipsoque t minorem, u<t atque -3 residuum ipsius u. Sed quando a formae 6n \pm 2, t u erit formae 6n+1, adeoque u formae 6n+5, Q. E. A. quia t minimum esse numerum inductioni nostrae adversantem supposuimus. Quando vero a formae 6n, erit t u formae 36n+3 adeoque \tfrac{1}{3}tu formae 12n+1, quare \tfrac{1}{3}u erit formae 6n+5; patet autem, -3 etiam ipsius \tfrac{1}{3}u residuum fore, atque esse \tfrac{1}{3}u<t, Q. E. A. Manifestum itaque, -3 nullius numeri formae 6n+5 residuum esse posse.

Quoniam quisque numerus formae 6n+5 necessario vel sub forma 12n+5, vel sub hac 12n+11 continetur, prior autem forma sub hac 4n+1, posterior sub hac 4n+3, haec habentur theoremata:

I. Cuiusvis numeri prinni formae 12n+5, tum -3 tum +3 non-residuum est.

II. Cuiusvis numeri primi formae 12n+11, -3 est non-residuum, +d vero residuum.