Pagina:Gauss, Carl Friedrich - Werke (1870).djvu/97

87

residua $+2$ et $-2$.

per esse residuum quadraticum. Sit itaque $ff\equiv -1$ patetque, si $z$ fuerit numerus quicunque per modulum non divisibilis, quaternorum numerorum $+z$, $-z$, $+fz$, $-fz$ (duos incongruos esse facile perspicitur) biquadrata inter se congrua fore; porro manifestum est, biquadratum numeri cuiuscunque, qui nulli ex his quatuor congruus, illorum biquadratis congruum fieri non posse, (alias enim congruentia $x^{4}\equiv z^{4}\!$ quae est quarti gradus, plures quam $4$ radices haberet, contra art. 43). Hinc facile colligitur, omnes numeros $1$, $2$, $3$, $\ldots$ $4m$, tantummodo $m$ biquadrata incongrua praebere, quibus inter eosdem numeros $m$ congrui reperientur, reliqui autem nulli biquadrato congrui esse poterunt.

II. Secundum modulum primum formae $8n+1$, $-1$ biquadrato congruus fieri poterit ($-1$ erit residuum biquadraticum huius numeri primi).

Omnium enim residuorum biquadraticorum ipso $8n+1$ minorum (cifra exclusa) multitudo erit $=2n$ i. e. par. Porro facile probatur, si $r$ fuerit residuum biquadraticum ipsius $8n+1$, etiam valorem expr. $\textstyle {\frac {1}{r}}{\pmod {8n+1}}$ fore tale residuum. Hinc omnia residua biquadratica in classes simili modo distribui poterunt, uti in art. 109 residua quadratica distribuimus: nec non reliqua demonstrationis pars prorsus eodem modo procedit ut illic.

III. Iam sit $g^{4}\equiv -1$, et $h$ valor expr. $\textstyle {\frac {1}{g}}{\pmod {8n+1}}$. Tunc erit $(g\pm h)^{2}=g^{2}+h^{2}\pm 2gh\equiv g^{2}+h^{2}\pm 2$ (propter $gh\equiv 1$). At $g^{4}\equiv -1$, adeoque $-h^{2}\equiv g^{4}h^{2}\equiv g^{2}\!$, unde tandem $g^{2}+h^{2}\equiv 0$, atque $(g\pm h)^{2}\equiv \pm 2$ i. e. tum $+2$ tum $-2$ residuum quadraticum ipsius $8n+1$. Q. E. D.

116.

Ceterum ex praecc. facile regula sequens generalis deducitur : $+2$ est residuum numeri cuiusvis, qui neque per $4$, neque per ullum primum formae $8n+3$ vel $8n+5$ dividi potest, reliquorum autem (ex. gr. omnium numerorum formarum $8n+3$, $8n+5$, sive sint primi, sive compositi) non-residuum.

$-2$ est residuum numeri cuiusvis, qui neque per $4$, neque per ullum primum formae $8n+5$ vel $8n+7$ dividi potest, omnium autem reliquorum non-residuum.

Theoremata haec elegantia iam sagaci Fermatio innotuerunt, Op. Mathem. p. 168. Demonstrationem vero quam se habere professus est, nusquam commu-