Pagina:Gauss, Carl Friedrich - Werke (1870).djvu/99

89

residua $+3$ et $-3$.

118.

Numeri quorum residuum est $+3$, ex tabula II. inveniuntur hi: 3, 11, 13, 23, 37, 47, 59, 61, 71, 73, 83, 97, inter quos nulli sunt formae $12n+5$ vel $12n+7$. Nullos autem omnino numeros formarum $12n+5$, $12n+7$ dari, quorum $+3$ sit residuum, eodem prorsus modo, ut in artt. 112, 113, 117, comprobari potest, quare hoc negotio supersedemus. Habemus itaque collato art. 111 theoremata:

I. Numeri cuiusvis primi formae $12n+5$ non-residua sunt tum $+3$ tum $-3$ (uti iam in art. praec. invenimus).

II. Numeri cuiusvis primi formae $12n+7$ non-residuum est $+3$, $-3$ vero residuum.

119.

Nihil autem per hanc methodum pro numeris formae $12n+1$ inveniri potest, qui proin artificia singularia requirunt. Ex inductione quidem facile colligitur, omnium numerorum primorum huius formae residua esse $+3$ et $-3$. Manifesto autem demonstrari tantummodo debet, numerorum talium residuum esse $-3$, quia tunc necessario etiam $+3$ residuum esse debet (art. 111). Ostendemus autem generalius, $-3$ esse residuum numeri cuiusvis primi formae $3n+1$.

Sit $p$ huiusmodi primus atque $a$ numerus pro modulo $p$ ad exponentem $3$ pertinens (quales dari ex art. 54 manifestum, quia $3$ submultiplum ipsius $p-1$). Erit itaque $a^3\equiv 1(\mathrm{mod}p)$ i. e. $a^3-1$ sive $(a^2+a+1)(a-1)$ per $p$ divisibilis. Sed patet $a$ esse non posse $\equiv 1(\mathrm{mod}p)$, quia $1$ ad exponentem $1$ pertinet, quare $a-1$ per $p$ divisibilis non erit, sed $a^2+a+1$ erit, hincque etiam $4aa+4a+4$, i. e. erit $(2a+1{)}^2\equiv -3(\mathrm{mod}p)$ sive $-3$ residuum ipsius $p$. Q. E. D.

Ceterum patet, hanc demonstrationem (quae a praecedentibus est independens) etiam numeros primos formae $12n+7$ complecti, quos iam in art. praec, absolvimus.

Observare adhuc convenit, hanc analysin ad instar methodi in artt. 109, 115 usitatae exhiberi posse, at brevitatis gratia huic rei non immoramur.

I. 12