Pagina:Principia newton la.djvu/175

${\tfrac {BP\times BD\times m}{AB}}$. Auferatur areæ DET momentum DTV seu BD×m, & restabit ${\tfrac {AP\times BD\times m}{AB}}$. Est igitur differentia momentorum, id est, momentum differentiæ arearum, æqualis ${\tfrac {AP\times BD\times m}{AB}}$; & propterea (ob datum ${\tfrac {BD\times m}{AB}}$) ut velocitas AP, id est ut momentum spatii quod corpus ascendendo vel descendendo describit. Ideoque differentia arearum & spatium illud proportionalibus momentis crescentia vel decrescentia, & simul incipientia vel simul evanescentia, sunt proportionalia. Q. E. D.

Corol. Igitur si longitudo aliqua V sumatur in ea ratione ad arcum ET, quam habet linea DA ad lineam DE; spatium quod corpus ascensu vel descensu toto in Medio resistente describit, erit ad spatium quod in Medio non resistente eodem tempore describere posset, ut arearum illarum differentia ad ${\tfrac {BD\times V^{2}}{4AB}}$, ideoque ex dato tempore datur. Nam spatium in Medio non resistente est in duplicata ratione temporis, sive ut $V^{2}$, & ob datas BD & AB, ut ${\tfrac {BD\times V^{2}}{4AB}}$. Tempus autem est ut DET seu ${\tfrac {1}{2}}$BD×ET, & harum arearum momenta sunt ut ${\tfrac {BD\times V}{2AB}}$ ductum in momentum ipsius V & ${\tfrac {1}{2}}$ BD ductum in momentum ipsius ET, id est, ut ${\tfrac {BD\times V}{2AB}}$ in ${\tfrac {DAq.\times 2m}{DEq.}}$ & ${\tfrac {1}{2}}$BD×2m, sive ut ${\tfrac {BD\times V\times DAq.\times m}{AB\times DEq.}}$ & BD×m. Et propterea momentum areæ $V^{2}$ est ad momentum differentiæ arearum DET & AKNb, ut ${\tfrac {BD\times V\times DA\times m}{AB\times DE}}$ ad ${\tfrac {AP\times BD\times m}{AB}}$ sive ut ${\tfrac {V\times DA}{DE}}$ ad AP; adeoque, ubi V & AP quam minimæ sunt, in ratione æqualitatis. Æqualis igitur est area quam minima ${\tfrac {BD\times V^{2}}{4AB}}$ differentiæ quam minimæ arearum DET & AKNb. Unde cum spatia in Medio utroque, in principio descensus vel fine ascensus simul descripta accedunt ad æqualitatem, adeoque tunc sunt ad invicem ut area ${\tfrac {BD\times V^{2}}{4AB}}$ & arearum DET & AKNb differentia; ob eorum analoga incrementa necesse est ut in æqualibus quibuscunque temporibus sint ad invicem ut area illa ${\tfrac {BD\times V^{2}}{4AB}}$ & arearum DET & AKNb differentia. Q. E. D.

---