Pagina:Principia newton la.djvu/177

${\tfrac {PQ}{PQ\times {\sqrt {SP}}}}$ seu ${\tfrac {1}{\sqrt {SP}}}$, hoc est in dimidiata ratione ipsius SP reciproce. Et simili argumento velocitas, qua arcus QR describitur, est in dimidiata ratione ipsius SQ reciproce. Sunt autem arcus illi PQ & QR ut velocitates descriptrices ad invicem, id est in dimidiata ratione SQ ad SP, sive ut SQ ad √SP×√SQ; & ob æquales angulos SPQ, SQr & æquales areas PSQ, QSr, est arcus PQ ad arcum Qr ut SQ ad SP. Sumantur proportionalium consequentium differentiæ, & fiet arcus PQ ad arcum Rr ut SQ ad SP-$SP^{\tfrac {1}{2}}$×$SQ^{\tfrac {1}{2}}$, seu ${\tfrac {1}{2}}$×VQ; nam punctis P & Q coeuntibus, ratio ultima SP-$SP^{\tfrac {1}{2}}$×$SQ^{\tfrac {1}{2}}$ ad ${\tfrac {1}{2}}$ VQ fit æqualitatis. In Medio non resistente areæ æquales PSQ, QSr (Theor. I. Lib. I.) temporibus æqualibus describi deberent. Ex resistentia oritur arearum differentia RSr, & propterea resistentia est ut lineolæ Qr decrementum Rr collatum cum quadrato temporis quo generatur. Nam lineola Rr (per Lem. X. Lib. I.) est in duplicata ratione temporis. Est igitur resistentia ut Rr PQq.×SP. Erat autem PQ ad Rr ut SQ ad ${\tfrac {1}{2}}$VQ, & inde ${\tfrac {Rr}{PQq.\times SP}}$ fit ut ${\tfrac {{\tfrac {1}{2}}VQ}{PQ\times SP\times SQ}}$ sive ut ${\tfrac {{\tfrac {1}{2}}OS}{OP\times SPq}}$. Namque punctis P & Q coeuntibus, SP & SQ coincidunt; & ob similia triangula PVQ, PSO, fit PQ ad ${\tfrac {1}{2}}$ VQ ut OP ad ${\tfrac {1}{2}}$OS. Est igitur ${\tfrac {OS}{OP\times SPq.}}$ ut resistentia, id est in ratione densitatis Medii in P & ratione duplicata velocitatis conjunctim. Auferatur duplicata ratio velocitatis, nempe ratio ${\tfrac {1}{SP}}$, & manebit Medii densitas in P ut ${\tfrac {OS}{OP\times SP}}$. Detur Spiralis, & ob datam rationem OS ad OP, densitas Medii in P erit ut ${\tfrac {1}{SP}}$. In Medio igitur cujus densitas est reciproce ut distantia a centro SP, corpus gyrari potest in hac Spirali. Q. E. D.

Corol. 1. Velocitas in loco quovis P ea semper est quacum corpus in Medio non resistente gyrari potest in circulo, ad eandem a centro distantiam SP.

Corol. 2. Medii densitas, si datur distantia SP, est ut ${\tfrac {OS}{OP}}$, sin distantia illa non datur, ut ${\tfrac {OS}{OP\times SP}}$. Et inde Spiralis ad quamlibet Medii densitatem aptari potest.

Corol. 3. Vis resistentiæ in loco quovis P, est ad vim centripetam in eodem loco ut ${\tfrac {1}{2}}$ OS ad OP. Nam vires illæ sunt ut lineæ Rr & TQ seu ut ${\tfrac {{\tfrac {1}{2}}VQ\times PQ}{SQ}}$ & ${\tfrac {PQq.}{SP}}$ quas simul generant, hoc est, ut ${\tfrac {1}{2}}$VQ & PQ, seu ${\tfrac {1}{2}}$OS & OP. Data igitur Spirali datur proportio resistentiæ ad vim centripetam, & viceversa ex data illa proportione datur Spiralis.

Corol. 4. Corpus itaque gyrari nequit in hac spirali, nisi ubi vis resistentiæ minor est quam dimidium vis centripetæ. Fiat resistentia æqualis dimidio vis centripetæ & Spiralis conveniet cum linea recta PS, inque hac recta corpus descendet ad centrum, dimidia semper cum velocitate qua probavimus in superioribus in casu Parabolæ (Theor. X. Lib. I.) descensum in Medio non resistente fieri. Unde tempora descensus hic erunt dupla majora temporibus illis atque adeo dantur.

Corol. 5. Et quoniam in æqualibus a centro distantiis velocitas eadem est in Spirali PQR atque in recta SP, & longitudo Spiralis ad longitudinem rectæ PS