Disquisitiones arithmeticae/Sectio quarta

E Wikisource
Sectio quarta
1801

editio: ex opera omnia, Gottinga, 1870; Ernst Christian Julius Schering recensuit
fons: librum vide
SECTIO QUARTA


DE

CONGRUENTIIS SECUNDI GRADUS.





Residua et non-residua quadratica.
94.

Theorema. Numero quocunque pro modulo accepto, ex numeris , , , , plures quam , quando est par, sive plures quam , quando est impar, quadrato congrui fieri non possunt.

Dem. Quoniam numerorum congruorum quadrata sunt congrua: quivis numerus, qui ulli quadrato congruus fieri potest, etiam quadrato alicui cuius radix congruus erit. Sufficit itaque residua minima quadratorum , , , considerare. At facile perspicitur, esse , , etc. Hinc etiam, quando est par, quadratorum et , et etc. residua minima eadem erunt: quando vero est impar, quadrata et , et etc. erunt congrua. Unde palam est, alios numeros, quam qui alicui ex quadratis , , , congrui sint, quadrato congruos fieri non posse, quando par; quando vero impar, quemvis numerum, qui ulli quadrato sit congruus, alicui ex his , , , necessario congruum esse. Quare dabuntur ad summum in priori casu residua minima diversa, in posteriori . Q. E. D.

Exemplum. Secundum modulum 13 quadratorum numerorum 0, 1, 2, 3 … 6 residua minima inveniuntur 0, 1, 4, 9, 3, 12, 10, post haec vero eadem ordine inverso recurrunt 10, 12, 3 etc. Quare numerus quisque, nulli ex istis residuis congruus, sive qui alicui ex his est congruus, 2, 5, 6, 7, 8, 11, nulli quadrato congruus esse potest.

Secundum modulum 15 haec inveniuntur residua 0, 1, 4, 9, 1, 10, 6, 4, post quae eadem ordine inverso recurrunt. Hic igitur numerus residuorum, quae quadrato congrua fieri possunt, minor adhuc est quam , quum sint 0, 1, 4, 6, 9, 10. Numeri autem 2, 3, 5, 7, 8, 11, 12, 13, 14 et qui horum alicui sunt congrui, nulli quadrato secundum mod. 15 congrui fieri possunt.


95.

Hinc colligitur, pro quovis modulo omnes numeros in duas classes distingui posse, quarum altera contineat numeros, qui quadrato alicui congrui fieri possint, altera eos, qui non possint. Illos appellabimus residua quadratica numeri istius quem pro modulo accepimus[1], hos vero ipsius non-residua quadratica, sive etiam, quoties ambiguitas nulla inde oriri potest, simpliciter residua et non-residua. Ceterum palam est sufficere, si omnes numeri , , in classes redacti sint: numeri enim congrui ad eandem classem erunt referendi.

Etiam in hac disquisitione a modulis primis initium faciemus, quod itaque subintelligendum erit, etiamsi expressis verbis non moneatur. Numerus primus autem excludendus, sive numeri primi impares tantum considerandi.


Quoties modulus est numerus primus, multitudo residuorum ipso minorum multitudini non-residuorum aequalis.
96.

Numero primo pro modulo accepto, numerorum , , semissis erunt residua quadratica, reliqui non-residua, i. e. dabuntur residua totidemque non-residua.

Facile enim probatur, omnia quadrata , , esse incongrua. Scilicet si fieri posset atque numeri , inaequales et non maiores quam posito i. q. licet, fieret positivus et per divisibilis. At uterque factor , et ipso est minor, quare suppositio consistere nequit (art. 13). Habentur itaque residua quadratica inter hos numeros , , contenta; plura vero inter ipsos esse nequeunt, quia accedente residuo prodeunt , quem numerum omnium residuorum multitudo superare nequit. Quare reliqui numeri erunt non-residua horumque multitudo .

Quum cifra semper sit residuum, hanc numerosque per modulum divisibiles ab investigationibus his excludimus, quia hic casus per se est clarus, theorematumque concinnitatem tantum turbaret. Ex eadem caussa etiam modulum exclusimus.


97.

Quum plura quae in hac Sect. exponemus, etiam ex principiis Sect. praec. derivari possint, neque inutile sit, eandem veritatem per methodos diversas perscrutari, hunc nexum ostendemus. Facile vero intelligitur, omnes numeros quadrato congruos, indices pares habere, eos contra, qui quadrato nullo modo congrui fieri possint, impares. Quia vero est numerus par, tot indices pares erunt quot impares, scilicet , totidemque tum residua tum non-residua dabuntur.

Exempla. Pro modulis   sunt residua
3   1.
5   1, 4.
7   1, 2, 4.
11   1, 3, 4, 5, 9.
13   1, 3, 4, 9, 10, 12.
17   1, 2, 4, 8, 9, 13, 15, 16.
etc.

reliqui vero numeri his modulis minores, non-residua.


Quaestio, utrum numerus compositus residuum numeri primi dati sit an non-residuum, ab indole factorum pendet.
98.

Theorema. Productum e duobus residuis quadraticis numeri primi , est residuum; productum e residuo in non-residuum, est non-residuum; denique productum e duobus non-residuis, residuum.

Demonstr. I. Sint , residua e quadratis , oriunda sive , , eritque productum quadrato numeri ab congruum i. e. residuum.

II. Quando est residuum, puta , vero non-residuum, erit non-residuum. Ponatur enim, si fieri potest, , sitque valor expressionis ; erit itaque , unde , i. e. residuum contra hyp.

Aliter. Multiplicentur omnes numeri, qui inter hos , , sunt residua (quorum multitudo ), per omniaque producta erunt residua quadratica, et quidem erunt omnia incongrua. Iam si non-residuum per multiplicatur, productum nulli productorum quae iam habentur congruum erit; quare si residuum esset, haberentur residua incongrua, inter quae nondum est residuum , contra art. 96.

III. Sint , non-residua. Multiplicentur omnes numeri, qui inter hos , , sunt residua, per , habebunturque non-residua inter se incongrua (II); iam productum nulli illorum congruum esse potest; quodsi igitur esset non-residuum, haberentur non-residua inter se incongrua, contra art. 96. Quare productum etc. Q. E. D.

Facilius adhuc haec theoremata e principiis sect. praec. derivantur. Quia enim residuorum indices semper sunt pares, non-residuorum vero impares, index producti e duobus residuis vel non-residuis erit par, adeoque productum ipsum, residuum. Contra index producti e residuo in non-residuum erit impar adeoque productum ipsum non-residuum.

Utraque demonstrandi methodus etiam pro his theorematibus adhiberi potest: Expressionis valor erit residuum, quando numeri , simul sunt residua, vel simul non-residua; contra autem erit non-residuum, quando numerorum , alter est residuum, alter non-residuum. Possunt etiam ex conversione theorr. praecc. obtineri.


99.

Generaliter, productum ex quotcunque factoribus est residuum tum quando omnes sunt residua, tum quando non-residuorum, quae inter eos occurrunt, multitudo est par; quando vero multitudo non-residuorum quae inter factores reperiuntur, est impar, productum erit non-residuum. Facile itaque diiudicari potest, utrum numerus compositus sit residuum necne, si modo, quid sint singuli ipsius factores constet. Quamobrem in tabula II numeros primos tantummodo recepimus. Oeconomia huius tabulae haec est. In margine positi sunt moduli[2], in facie vero numeri primi successivi; quando ex his aliquis fuit residuum moduli alicuius, in spatio utrique respondente lineola collocata est, quando vero numerus primus fuit non-residuum moduli, spatium respondens vacuum mansit.


De modulis, qui sunt numeri compositi.
100.

Antequam ad difficiliora progrediamur, quaedam de modulis non primis adiicienda sunt.

Si numeri primi , potestas aliqua pro modulo assumitur (ubi non esse supponimus), omnium numerorum per non divisibilium moduloque minorum altera semissis erunt residua, altera non-residua, i. e. utrorumque multitudo .

Si enim est residuum: quadrato alicui congruus erit, cuius radix moduli dimidium non superat, vid. art. 94. Iam facile perspicitur, dari numeros per non divisibiles modulique semisse minoribus; superest itaque ut demonstretur, omnium horum numerorum quadrata incongrua esse, sive residua quadratica diversa suppeditare. Quodsi duorum numerorum per non divisibilium modulique semisse minorum quadrata essent congrua, foret sive per divisibilis (posito i. q. licet ). Hoc vero fieri non potest, nisi vel alter numerorum , per fuerit divisibilis, quod fieri nequit, quoniam uterque , vel alter per alter vero per , i. e. uterque per . Sed etiam hoc fieri nequit. Manifesto enim etiam summa et differentia et per foret divisibilis adeoque etiam et contra hyp. — Hinc tandem colligitur inter numeros per non divisibiles moduloque minores residua dari, reliquos quorum multitudo aeque magna, esse non-residua, Q. E. D. — Potest etiam theorema hoc ex consideratione indicum derivari simili modo ut art. 97.


101.

Quivis numerus per non divisibilis, qui ipsius est residuum, erit residuum etiam ipsius ; qui vero ipsius est non-residuum, etiam ipsius non-residuum erit.

Pars posterior huius propositionis per se est manifesta. Si itaque prior falsa esset, inter numeros ipso minores simulque per non divisibiles plures forent residua ipsius quam ipsius , i. e. plures quam . Nullo vero negotio perspici poterit, multitudinem residuorum numeri inter illos numeros esse praecise .

Aeque facile est, quadratum reipsa invenire, quod secundum modulum residuo dato sit congruum, si quadratum huic residuo secundum modulum congruum habetur.

Scilicet si quadratum habetur, , quod residuo dato secundum modulum est congruum, deducitur inde quadratum ipsi secundum modulum congruum (ubi et vel supponitur) sequenti modo. Ponatur radix quadrati quaesiti , quam formam eam habere debere facile perspicitur; debetque esse sive propter , . Sit , eritque valor expressionis , quae huic aequivalet.

Dato igitur quadrato ipsi secundum congruo, deducitur inde quadratum ipsi secundum modulum congruum; hinc ad modulum , hinc ad etc. ascendi poterit.

Ex. Proposito residuo 6, quod secundum modulum 5 quadrato 1 congruum, invenitur quadratum 92 cui secundum 25 est congruum, 162 cui secundum 125 congruum etc.


102.

Quod vero attinet ad numeros per divisibiles, patet, eorum quadrata per fore divisibilia, adeoque omnes numeros per quidem divisibiles, neque vero per , ipsius fore non-residua. Generaliter vero, si proponitur numerus , ubi per non est divisibilis, hi casus erunt distinguendi:

1) Quando vel , erit , i. e. residuum.

2) Quando atque impar, erit non-residuum.

Si enim esset , per divisibilis esset, id quod aliter fieri nequit, quam si fuerit per divisibilis. Tunc vero etiam per divisibilis, adeoque etiam (quia certo non maior quam ) i. e. ; sive per , contra hyp.

3) Quando atque par. Tum erit residuum vel non-residuum ipsius , prout est residuum vel non-residuum ipsius . Quando enim est residuum ipsius , erit etiam residuum ipsius . Posito autem erit , vero est quadratum. Quando autem est non-residuum ipsius , residuum ipsius esse nequit. Ponatur enim , eritque necessario per divisibilis. Quotiens erit quadratum, cui secundum modulum adeoque etiam secundum modulum congruus, i. e. erit residuum ipsius contra hyp.


103.

Quoniam casum exclusimus, de hoc adhuc quaedam dicenda. Quando numerus est modulus, numerus quicunque erit residuum, non-residua nulla erunt. Quando vero est modulus, omnes numeri impares formae erunt residua, omnes vero formae non-residua. Tandem quando aut altior potestas numeri est modulus, omnes numeri impares formae erunt residua, reliqui vero, seu ii qui sunt formarum , , , erunt non-residua. Pars posterior huius propositionis inde clara, quod quadratum cuiusvis numeri imparis, sive sit formae , sive formae , fit formae . Priorem ita probamus.

1) Si duorum numerorum vel summa vel differentia per est divisibilis, numerorum quadrata erunt congrua secundum modulum . Si enim alter ponitur , erit alter formae , cuius quadratum invenitur .

2) Quivis numerus impar, qui ipsius est residuum quadraticum, congruus erit quadrato alicui, cuius radix est numerus impar et . Sit enim quadratum quodcunque, cui numerus ille congruus, atque numerus , ita ut moduli semissem non superet (art. 4), eritque . Quare etiam numerus propositus erit . Manifesto vero tum tum erunt impares atque .

3) Omnium numerorum imparium ipso minorum quadrata secundum incongrua erunt. Sint enim duo tales numeri et , quorum quadrata si secundum essent congrua, foret per divisibilis (posito ). Facile vero perspicitur numeros , simul per divisibiles esse non posse, quare si alter tantummodo per est divisibilis, alter, ut productum per divisibilis fieret, per divisibilis esse deberet, Q. E. A. quoniam uterque .

4) Quodsi denique haec quadrata ad residua sua minima positiva reducuntur, habebuntur residua quadratica diversa modulo minora[3], quorum quodvis erit formae . Sed quum praecise numeri formae modulo minores exstent, necessario hi omnes inter illa residua reperientur. Q. E. D.

Ut quadratum numero dato formae secundum modulum congruum inveniatur, methodus similis adhiberi potest, ut in art. 101; vid. etiam art. 88. — Denique de numeris paribus eadem valent, quae art. 102 generaliter exposuimus.


104.

Circa multitudinem valorum diversorum (i. e. secundum modulum incongruorum), quos expressio talis admittit, siquidem est residuum ipsius facile e praecc. colliguntur haec. (Numerum supponimus esse primum, ut ante, et brevitatis caussa casum statim includimus). I. Si per non est divisibilis, unum valorem habet pro , , puta ; duos, quando est impar, nec non pro , , puta ponendo unum , alter erit ; quatuor pro , , scilicet ponendo unum , reliqui erunt , , . II. Si per divisibilis est, neque vero per , sit potestas altissima ipsius ipsum metiens (manifesto enim ipsius exponens par esse debebit) atque . Tunc patet, omnes valores ipsius per divisibiles esse, et quotientes e divisione ortos fieri valores expr. ; hinc omnes valores diversi ipsius prodibunt, multiplicando omnes valores expr. inter et sitos per quare illi exhibebuntur per si indefinite omnes valores diversos expr. exprimit, ita ut illorum multitudo fiat , vel , prout multitudo horum (per casum I) est , vel . III. Si per divisibilis est, facile perspicietur, statuendo vel , prout par est vel impar, omnes numeros per divisibiles, neque ullos alios, esse valores ipsius ; quare omnes valores diversi hi erunt , , , quorum multitudo .


105.

Superest casus, ubi modulus e pluribus numeris primis compositus est. Sit , designantibus , , etc. numeros primos diversos aut primorum diversorum potestates, patetque statim, si sit residuum ipsius , fore etiam residuum singulorum , , etc., adeoque certo non-residuum ipsius esse, si fuerit NR. ullius e numeris , , etc. Vice versa autem, si singulorum , , etc. residuum est, etiam residuum producti erit. Supponendo enim, , , etc. sec. mod. , , etc. resp., patet, si numerus ipsis , , etc. sec. mod. , , etc resp. congruus eruatur (art. 32), fore secundum omnes hos modulos adeoque etiam secundum productum . — Quum facile perspiciatur, hoc modo e combinatione cuiusvis valoris ipsius sive expr. cum quovis valore ipsius cum quovis valore ipsius etc. oriri valorem ipsius sive , nec non e combinationibus diversis produci diversos , et e cunctis cunctos: multitudo omnium valorum diversorum ipsius aequalis erit producto e multitudinibus valorum ipsorum , , etc., quas determinare in art. praec. docuimus. — Porro manifestum est, si unus valor expressionis sive ipsius fuerit notus, hunc simul fore valorem omnium , , etc.; et quum hinc per art. praec. omnes reliqui valores harum quantitatum deduci possint, facile sequitur, ex uno valore ipsius omnes reliquos obtineri posse.

Ex. Sit modulus 315, cuius residuum an non-residuum sit 46, quaeritur. Divisores primi numeri 315 sunt 3, 5, 7, atque numerus 46 residuum cuiusvis eorum, quare etiam ipsius 315 erit residuum. Porro, quia 46 ≡ 1, et ≡ 64 (mod. 9); ≡ 1 et ≡ 16 (mod. 5); ≡ 4 et ≡ 25 (mod. 7), inveniuntur radices quadratorum, quibus 46 secundum modulum 315 congruus, 19, 26, 44, 89, 226, 271, 289, 296.


Criterium generale, utrum numerus datus numeri primi dati residuum sit an non-residuum.
106.

Ex praecedentibus colligitur, si tantummodo semper dignosci possit, utrum numerus primus datus numeri primi dati residuum sit an non-residuum, omnes reliquos casus ad hunc reduci posse. Pro illo itaque casu criteria certa omni studio nobis erunt indaganda. Antequam autem hanc perquisitionem aggrediamur, criterium quoddam exhibemus ex Sect. praec. petitum, quod quamvis in praxi nullum fere usum habeat, tamen propter simplicitatem atque generalitatem memoratu dignum est.


Numerus quicunque per numerum primum non divisibilis, huius primi residuum est vel non-residuum, prout vel .

Sit enim pro modulo in systemate quocunque numeri index , eritque par, quando est residuum ipsius , impar vero quando non-residuum. At numeri index erit , i. e. vel , prout par vel impar. Hinc denique in priori casu erit , in posteriori vero . V. artt. 57, 62.

Ex. 3 ipsius 13 est residuum, quia 36 ≡ 1 (mod. 13), 2 vero ipsius 13 non-residuum, quoniam 26 ≡ -1 (mod. 13).

At quoties numeri examinandi mediocriter sunt magni, hoc criterium ob calculi immensitatem prorsus inutile erit.


Disquisitiones de numeris primis quorum residua aut non-residua sint numeri dati.
107.

Facillimum quidem est, proposito modulo, omnes assignare numeros, qui ipsius residua sunt vel non-residua. Scilicet si ille numerus ponitur , determinari debent quadrata, quorum radices semissem ipsius non superant, sive etiam numeri his quadratis secundum congrui (ad praxin methodi adhuc expeditiores dantur), tuncque omnes numeri horum alicui secundum congrui, erunt residua ipsius , omnes autem numeri nulli istorum congrui erunt non-residua. — At quaestio inversa, proposito numero aliquo, assignare omnes numeros, quorum ille sit residuum vel non-residuum, multo altioris est indaginis. Hoc itaque problema, a cuius solutione illud quod in art. praec. nobis proposuimus pendet, in sequentibus perscrutabimur, a casibus simplicissimis inchoantes.


Residuum .
108.

Theorema. Omnium numerorum primorum formae , est residuum quadraticum, omnium vero numerorum primorum formae non-residuum.

Ex. est residuum numerorum 5, 13, 17, 29, 37, 41, 53, 61, 73, 89, 97 etc., e quadratis numerorum 2, 5, 4, 12, 6, 9, 23, 11, 27, 34, 22 etc. respective oriundum; contra non-residuum est numerorum 3, 7, 11, 19, 23, 31, 43, 47, 59, 67, 71, 79, 83 etc.

Mentionem huius theor. iam in art. 64 fecimus. Demonstratio vero facile ex art. 106 petitur. Etenim pro numero primo formae est , pro numero autem formae habetur . Convenit haec demonstratio cum ea, quam l. c. tradidimus. Sed propter theorematis elegantiam atque utilitatem non superfluum erit, alio adhuc modo idem ostendisse.


109.

Designemus complexum omnium residuorum numeri primi , quae ipso sunt minora, excluso residuo , per literam , et quoniam horum residuorum multitudo semper , manifestum est, eam fore parem, quoties sit formae , imparem vero, quoties sit formae . Dicantur, ad instar art. 77, ubi de numeris in genere agebatur, residua socia talia, quorum productum ; manifeste enim si est residuum, etiam residuum erit. Et quoniam idem residuum plura socia inter residua habere nequit, patet, omnia residua in classes distribui posse, quarum quaevis bina residua socia contineat. Iam perspicuum est, si nullum residuum daretur, quod sibi ipsi esset socium, i. e. si quaevis classis bina residua inaequalia contineret, omnium residuorum numerum fore duplum numeri omnium classium; quodsi vero aliqua dantur residua sibi ipsis socia i. e. aliquae classes, quae unicum tantum residuum aut, si quis malit, idem residuum bis continent, posita harum classium multitudine , reliquarumque multitudine ; erit omnium residuorum numerus . Quare quando est formae , erit numerus par; quando autem est formae , erit impar. At numeri ipso minores alii, quam et , sibi ipsis socii esse nequeunt (vid. art. 77); priorque certo inter residua occurrit; unde in priori casu (seu quod hic idem valet, ) debet esse residuum, in posteriori vero non-residuum; alias enim in illo casu foret , in hoc autem , quod fieri nequit.


110.

Etiam haec demonstratio ill. Eulero debetur, qui et priorem primus invenit V. Opusc. Anal. T. I. p. 135. — Facile quisquis videbit eam similibus principiis innixam esse, ut demonstratio nostra secunda theor. Wilsoniani art. 77. Si vero hoc theorema supponere velimus, facilius adhuc demonstratio exhiberi poterit. Scilicet inter numeros , , erunt residua quadratica ipsius totidemque non-residua; quare non-residuorum multitudo erit par, quando est formae ; impar, quando est formae . Hinc productum ex omnibus numeris , , in priori casu erit residuum, in posteriori non-residuum (art. 99). At productum hoc semper ; adeoque etiam in priori casu residuum, in posteriori non-residuum erit.


111.

Si itaque est residuum numeri alicuius primi formae , etiam huius primi residuum erit; omnia autem talis numeri non-residua, etiam signo contrario sumta non-residua manebunt[4]. Contrarium evenit pro numeris primis formae , quorum residua quando signum mutatur, non-residua fiunt et vice versa, vid. art. 98.

Ceterum facile ex praecedentibus derivatur regula generalis: est residuum omnium numerorum, qui neque per neque per ullum numerum primum formae dividi possunt; omnium reliquorum non-residuum. V. artt. 103 et 105.


Residua et .
112.

Progredimur ad residua et .

Si ex tabula II colligimus omnes numeros primos, quorum residuum est , hos habebimus: 7, 17, 23, 31, 41, 47, 71, 73, 79, 89, 97. Facile autem animadvertitur, inter hos numeros nullos inveniri formarum et .

Videamus itaque, num haec inductio ad certitudinem evehi possit.

Primum observamus, quemvis numerum compositum formae vel necessario factorem primum alterutrius formae vel , involvere; manifesto enim e solis numeris primis formarum , , alii numeri quam qui sunt formae vel , componi nequeunt. Quodsi itaque inductio nostra generaliter est vera, nullus omnino numerus formae , dabitur, cuius residuum ; sicque nullus certe numerus huius formae infra exstat, cuius residuum sit . Si autem ultra hunc limitem tales numeri reperirentur, ponamus minimum omnium . Erit itaque vel formae vel ; ipsius residuum erit, omnium autem numerorum similium minorum non-residuum. Ponatur poteritque ita semper accipi, ut sit impar simulque , (habebit enim ad minimum duos valores positives ipso minores quorum summa , quorumque adeo alter par alter impar v. artt. 104. 105). Quo facto sit , sive , eritque formae , igitur formae , adeoque formae vel , prout est formae posterioris vel prioris. At ex aequatione sequitur, etiam i. e. etiam ipsius residuum fore. Facile vero perspicitur, esse , quare non est minimus numerus inductioni nostrae contrarius contra hyp. Unde manifesto sequitur id quod per inductionem inveneramus, generaliter verum esse.

Combinando haec cum prop. art. 111 sequentia theoremata nanciscimur.

I. Numerorum omnium primorum formae , erit non-residuum, vero residuum.

II. Numerorum omnium primorum formae tum tum erunt non-residua.


113.

Per similem inductionem ex tab. II inveniuntur numeri primi, quorum residuum est hi: 3, 11, 17, 19, 41, 43, 59, 67, 73, 83, 89, 97[5]. Inter quos quum nulli inveniantur formarum , , num etiam haec inductio theorematis generalis vim adipisci possit, investigemus. Ostenditur simili modo ut in art. praec., quemvis numerum compositum formae vel , factorem primum involvere formae vel formae , ita ut, si inductio nostra generaliter vera, nullius omnino numeri formae vel residuum esse possit. Si autem tales numeri darentur, ponatur omnium minimus , fiatque . Ubi si uti supra impar ipsoque minor accipitur, erit formae vel , prout formae vel . At ex eo quod atque , quisquis facile derivare poterit, etiam ipso minorem fore. Denique etiam ipsius residuum erit, i. e. non erit minimus numerus, qui inductioni nostrae adversatur, contra hyp. Quare necessario omnium numerorum formarum , non-residuum.

Combinando haec cum prop. art. 111, prodeunt theoremata haec:

I. Omnium numerorum primorum , tum tum sunt non-residua, uti iam in art. praec. invenimus.

II. Omnium numerorum primorum formae , est non-residuum, vero residuum.

Ceterum in utraque demonstratione pro etiam valorem parem accipere potuissemus; tunc autem casum ubi fuisset formae , ab eo distinguere oportuisset, ubi formae . Evolutio autem perinde procedit uti supra, nullique difficultati est obnoxia.


114.

Unus adhuc superest casus, scilicet ubi numerus primus est formae . Hic vero methodum praecedentem eludit, artificiaque prorsus peculiaria postulat.

Sit pro modulo primo , radix quaecunque primitiva , eritque (art. 62) , quae congruentia ita etiam exhiberi potest, , sive etiam ita, . Unde sequitur, tum tum ipsius esse residuum: at quia est quadratum per modulum non divisibile, manifeste etiam tum tum residua erunt (art. 98).


115.

Haud inutile erit, adhuc aliam huius theorematis demonstrationem adiicere, quae similem relationem ad praecedentem habet, ut theorematis art. 108 demonstratio secunda (art. 109) ad primam (art. 108). Periti facilius tunc perspicient, binas demonstrationes tam illas quam has non adeo heterogeneas esse, quam primo forsan aspectu videantur.

I. Pro modulo quocunque primo formae , inter numeros ipso minores , , , reperientur , qui biquadrato congrui esse possunt, reliqui vero non poterunt.

Facile quidem hoc ex principiis Sect. praec. derivatur, sed etiam absque his demonstratio haud difficilis. Demonstravimus enim, pro tali modulo semper esse residuum quadraticum. Sit itaque patetque, si fuerit numerus quicunque per modulum non divisibilis, quaternorum numerorum , , , (duos incongruos esse facile perspicitur) biquadrata inter se congrua fore; porro manifestum est, biquadratum numeri cuiuscunque, qui nulli ex his quatuor congruus, illorum biquadratis congruum fieri non posse, (alias enim congruentia quae est quarti gradus, plures quam radices haberet, contra art. 43). Hinc facile colligitur, omnes numeros , , , , tantummodo biquadrata incongrua praebere, quibus inter eosdem numeros congrui reperientur, reliqui autem nulli biquadrato congrui esse poterunt.

II. Secundum modulum primum formae , biquadrato congruus fieri poterit ( erit residuum biquadraticum huius numeri primi).

Omnium enim residuorum biquadraticorum ipso minorum (cifra exclusa) multitudo erit i. e. par. Porro facile probatur, si fuerit residuum biquadraticum ipsius , etiam valorem expr. fore tale residuum. Hinc omnia residua biquadratica in classes simili modo distribui poterunt, uti in art. 109 residua quadratica distribuimus: nec non reliqua demonstrationis pars prorsus eodem modo procedit ut illic.

III. Iam sit , et valor expr. . Tunc erit (propter ). At , adeoque , unde tandem , atque i. e. tum tum residuum quadraticum ipsius . Q. E. D.


116.

Ceterum ex praecc. facile regula sequens generalis deducitur : est residuum numeri cuiusvis, qui neque per , neque per ullum primum formae vel dividi potest, reliquorum autem (ex. gr. omnium numerorum formarum , , sive sint primi, sive compositi) non-residuum.

est residuum numeri cuiusvis, qui neque per , neque per ullum primum formae vel dividi potest, omnium autem reliquorum non-residuum.

Theoremata haec elegantia iam sagaci Fermatio innotuerunt, Op. Mathem. p. 168. Demonstrationem vero quam se habere professus est, nusquam communicavit. Postea ab ill. Eulero frustra semper est investigata: at ill. La Grange primus demonstrationem rigorosam reperit, Nouv. Mém. de l'Ac. de Berlin 1775. p. 349, 351. Quod ill. Eulerum adhuc latuisse videtur, quando scripsit diss. in Opusc. Analyt. conservatam, T. I. p. 259.


Residua et .
117.

Pergimus ad residua et . A posteriori initium faciamus.

Reperiuntur ex tab. II numeri primi, quorum residuum est , hi: 3, 7, 13, 19, 31, 37, 43, 61, 67, 73, 79, 97, inter quos nullus invenitur formae . Quod vero etiam ultra tabulae limites nulli primi huius formae dantur, quorum residuum , ita demonstramus: Primo patet, quemvis numerum compositum formae necessario factorem primum aliquem eiusdem formae involvere. Quousque igitur nulli numeri primi formae dantur, quorum residuum , eousque tales etiam compositi non dabuntur. Quodsi vero ultra tabulae nostrae limites tales numeri darentur, sit omnium minimus , ponaturque . Tunc erit, si acceperis parem ipsoque minorem, atque residuum ipsius . Sed quando formae , erit formae , adeoque formae , Q. E. A. quia minimum esse numerum inductioni nostrae adversantem supposuimus. Quando vero formae , erit formae adeoque formae , quare erit formae ; patet autem, etiam ipsius residuum fore, atque esse , Q. E. A. Manifestum itaque, nullius numeri formae residuum esse posse.

Quoniam quisque numerus formae necessario vel sub forma , vel sub hac continetur, prior autem forma sub hac , posterior sub hac , haec habentur theoremata:

I. Cuiusvis numeri primi formae , tum tum non-residuum est.

II. Cuiusvis numeri primi formae , est non-residuum, vero residuum.


118.

Numeri quorum residuum est , ex tabula II. inveniuntur hi: 3, 11, 13, 23, 37, 47, 59, 61, 71, 73, 83, 97, inter quos nulli sunt formae vel . Nullos autem omnino numeros formarum , dari, quorum sit residuum, eodem prorsus modo, ut in artt. 112, 113, 117, comprobari potest, quare hoc negotio supersedemus. Habemus itaque collato art. 111 theoremata:


I. Numeri cuiusvis primi formae non-residua sunt tum tum (uti iam in art. praec. invenimus).

II. Numeri cuiusvis primi formae non-residuum est , vero residuum.


119.

Nihil autem per hanc methodum pro numeris formae inveniri potest, qui proin artificia singularia requirunt. Ex inductione quidem facile colligitur, omnium numerorum primorum huius formae residua esse et . Manifesto autem demonstrari tantummodo debet, numerorum talium residuum esse , quia tunc necessario etiam residuum esse debet (art. 111). Ostendemus autem generalius, esse residuum numeri cuiusvis primi formae .

Sit huiusmodi primus atque numerus pro modulo ad exponentem pertinens (quales dari ex art. 54 manifestum, quia submultiplum ipsius ). Erit itaque i. e. sive per divisibilis. Sed patet esse non posse , quia ad exponentem pertinet, quare per divisibilis non erit, sed erit, hincque etiam , i. e. erit sive residuum ipsius . Q. E. D.

Ceterum patet, hanc demonstrationem (quae a praecedentibus est independens) etiam numeros primos formae complecti, quos iam in art. praec, absolvimus.

Observare adhuc convenit, hanc analysin ad instar methodi in artt. 109, 115 usitatae exhiberi posse, at brevitatis gratia huic rei non immoramur.

120.

Colliguntur facile ex praec. theoremata haec (vid. artt. 102, 103, 105):

I. est residuum omnium numerorum, qui neque per , neque per , neque per ullum numerum primum formae dividi possunt, non-residuum autem omnium reliquorum.

II. est residuum omnium numerorum, qui neque per , neque per , neque per ullum primum formae vel dividi possunt, omnium reliquorum non-residuum.

Teneatur imprimis casus particularis hic:

est residuum omnium numerorum primorum formae , seu quod idem est omnium, qui ipsius sunt residua, non-residuum vero omnium numerorum primorum formae , seu, excluso numero , omnium formae , i. e. omnium, qui ipsius sunt non-residua. Facile vero perspicitur omnes reliquos casus ex hoc sponte sequi.


Propositiones ad residua et pertinentes iam Fermatio notae fuerunt, Opera Wallisii T. II. p. 857. At ill. Euler primus demonstrationes tradidit, Comm. nov. Petr. T. VIII. p. 105 sqq. Eo magis est mirandum, demonstrationes propositionum ad residua et pertinentium, prorsus similibus artificiis innixas, semper ipsius sagacitatem fugisse. Vid. etiam comment. ill. La Grange, Nouv. Mém. de l'Ac. de Berlin, 1775 p. 352.


Residua et .
121.

Per inductionem deprehenditur, nullius numeri imparis formae vel residuum esse, i. e. nullius numeri imparis, qui ipsius non-residuum sit. Hanc vero regulam nullam exceptionem pati, ita demonstratur. Sit numerus minimus, si quis datur, ab hac regula excipiendus , qui itaque numeri est non-residuum, autem ipsius residuum. Sit , ita ut sit par ipsoque minor. Erit igitur impar ipsoque minor, autem ipsius residuum erit. Quodsi iam per non est divisibilis, etiam non erit; manifesto autem ipsius est residuum, quare quum ipsius sit non-residuum, etiam non-residuum erit; i. e. datur non-residuum impar numeri , cuius residuum est , ipso minus, contra hyp. Si vero per est divisibilis, ponatur , atque , unde , i. e. erit residuum numeri . In reliquis demonstratio perinde procedit ut in casu priori.


122.

Omnium igitur numerorum primorum, qui simul sunt ipsius non-residua simulque formae , i. e. omnium numerorum primorum formae vel , tum quam non-residua erunt; omnium autem numerorum primorum formae vel , non-residuum erit , residuum.

Potest vero prorsus simili modo demonstrari, esse non-residuum omnium numerorum primorum formarum , , , , facileque perspicitur hinc sequi, esse residuum omnium numerorum primorum formae vel , non-residuum autem omnium formae vel . Et quoniam quivis numerus primus, praeter et (quorum residuum ), in aliqua harum formarum continetur , , , , , , , , patet, de omnibus iam iudicium ferri posse, exceptis iis, qui sint formae vel formae .


123.

Ex inductione facile deprehenditur, et esse residua omnium numerorum primorum formae vel . Quodsi hoc generaliter verum est, lex elegans habebitur, esse residuum omnium numerorum primorum, qui ipsius sint residua, (hi enim in alterutra formarum vel sive in aliqua harum, , , , , continentur, de quarum tertia et quarta illud iam ostensum est) non-residuum vero omnium numerorum imparium, qui ipsius sint non-residua, ut iam supra demonstravimus. Clarum autem est, hoc theorema sufficere, ad diiudicandum, utrum (eoque ipso, , si tamquam productum ex et consideretur) numeri cuiuscunque dati residuum sit an non-residuum. Denique observetur huius theorematis cum illo, quod art. 120 de residuo exposuimus, analogia.

At verificatio illius inductionis non adeo facilis. Quando numerus primus formae , sive generalius formae proponitur, res simili modo absolvi potest, ut in artt. 114, 119. Sit scilicet numerus quicunque pro modulo ad exponentem pertinens , quales dari ex Sect. praec. manifestum, eritque , sive . At quia nequit esse , neque adeo ; necessario erit . Quare etiam erit i. e. erit residuum ipsius , adeoque etiam , quia est residuum per non divisibile ( enim per non divisibilis propter ). Q. E. D.

At casus, ubi numerus primus formae proponitur, subtiliora artificia postulat. Quoniam vero propositiones, quarum ope negotium absolvitur, in sequentibus generalius tractabuntur, hic breviter tantum eas attingimus.

I. Si est numerus primus atque non-residuum quadraticum datum ipsius , valor expressionis (ex qua evoluta irrationalitatem abire facile perspicitur), semper per divisibilis erit, quicunque numerus pro assumatur. Patet enim ex inspectione coëfficientium, qui ex evolutione ipsius obtinentur, omnes terminos a secundo usque ad penultimum (incl.) per divisibiles fore, adeoque esse . At quoniam ipsius non-residuum est, erit , (art. 106); autem semper est (Sect. praec.), unde fit . Q. E. D.

II. In congruentia , indeterminata habet dimensiones omnesque numeri , , illius radices erunt. Iam ponatur esse divisorem ipsius eritque expressio (quam per designamus) si evolvitur, ab irrationalitate libera, indeterminata in ipsa dimensiones habebit, constatque ex analyseos primis elementis, per (indefinite) esse divisibilem. Iam dico valores ipsius dari, quibus in substitutis, per divisibilis evadat. Ponatur enim , habebitque in dimensiones , adeoque congruentia non plures quam radices. Unde facile patet, omnes reliquos numeros ex his , , , , quorum multitudo , congruentiae radices fore.

III. Iam ponatur esse formae , , non-residuum ipsius , atque numerum ita determinatum, ut sit per divisibilis. At illa expressio fit Erit igitur etiam per divisibilis i. e. residuum ipsius , at quoniam residuum est per non divisibile (facile enim intelligitur, per dividi non posse), etiam residuum ipsius erit. Q. E. D.

Hinc patet theorema in initio huius articuli prolatum generaliter verum esse. —

Observamus adhuc, demonstrationes pro utroque casu ill. La Grange deberi, Mém. de l'Ac. de Berlin 1775, p. 352 sqq.


De .
124.

Per similem methodum demonstratur,
esse non-residuum cuiusvis numeri, qui ipsius sit non-residuum.

Ex inductione vero concludi potest,
esse residuum cuiusvis numeri primi, qui ipsius sit residuum.

At hoc a nemine hactenus rigorose demonstratum. Pro iis quidem residuis ipsius , quae sunt formae , facilis est demonstratio; etenim per methodum ex praecc. abunde notam ostendi potest, semper esse talium numerorum primorum non-residuum, adeoque residuum. Sed parum hinc lucramur: reliqui enim casus per hanc methodum tractari nequeunt. Unum quidem adhuc casum simili modo ut artt. 119, 123 absolvere possumus. Scilicet si est numerus primus formae , atque pro modulo ad exponentem pertinens, facile perspicitur per divisibilem, adeoque ipsius residuum fore. At , tamquam quadratum, ipsius residuum est, insuperque per non divisibile; quum enim ad exponentem pertinere supponatur, neque , neque esse potest, i. e. neque neque per divisibilis erit, adeoque etiam quadratum . Unde manifesto etiam ipsius residuum erit. Q. E. D. — At primi numeri formae In vel omnes methodos hucusque traditas eludunt. Ceterum etiam haec demonstratio ab ill. La Grange primum est detecta l. c. — Infra Sect. VII. docebimus generaliter, expressionem semper ad formam reduci posse, (ubi signum superius est accipiendum, quando est numerus primus formae , inferius, quando est formae ), denotantibus , functiones rationales ipsius , a fractionibus liberas. Hanc discerptionem ill. La Grange ultra casum non perfecit v. l. c. p. 352.


Praeparatio ad disquisitionem generalem.
125.

Quoniam igitur methodi praecedentes ad demonstrationes generales stabiliendas non sufficiunt, iam tempus est, aliam ab hoc defectu liberam exponere. Initium facimus a theoremate, cuius demonstratio satis diu operam nostram elusit, quamvis primo aspectu tam obvium videatur, ut quidam ne necessitatem quidem demonstrationis intellexerint. Est vero hoc: Quemvis numerum, praeter quadrata positive sumta, aliquorum numerorum primorum non-residuum esse. Quia vero hoc theoremate tantummodo tamquam auxiliari ad alia demonstranda usuri sumus, alios casus hic non explicamus quam quibus ad hunc finem indigemus. De reliquis casibus postea sponte idem constabit. Ostendemus itaque, quemvis numerum primum formae , sive positive sive negative accipiatur[6], non-residuum esse aliquorum numerorum primorum, et quidem (si ) talium qui ipso sint minores.

Primo, quando numerus primus , formae (, sed , ), negative sumendus proponitur, sit numerus par proxime maior quam , tum facilis perspicitur, semper fore sive . At est formae , autem residuum quadraticum ipsius (quoniam ); quodsi igitur est numerus primus, ipsius non-residuum erit; sin minus, necessario factor aliquis ipsius formae erit; et quum etiam huius residuum esse debeat, ipsius non-residuum erit. Q. E. D.

Pro numeris primis positive sumendis duos casus distinguimus. Primo sit numerus primus formae . Sit numerus quicunque positivus . Tum erit numerus positivus formae vel (prout par vel impar) adeoque necessario per numerum aliquem primum formae vel divisibilis, productum enim ex quotcunque numeris formae et neque formam neque hanc habere potest. Sit hic , eritque . At ipsius non-residuum erit (art. 112), adeoque etiam [7] et . Q. E. D.


126.

Sed numerum quemvis primum formae positive acceptum semper alicuius numeri primi ipso minoris non-residuum esse, per artificia tam obvia demonstrari nequit. Quum autem haec veritas maximi sit momenti, demonstrationem rigorosam, quamvis aliquantum prolixa sit, praeterire non possumus. Praemittimus sequens


Lemma. Si habentur duae series numerorum, , (utrum terminorum multitudo in utraque eadem sit necne, nihil interest) ita comparatae, ut, denotante numerum quemcunque primum aut numeri primi potestatem, terminum aliquem secundae seriei (sive etiam plures) metientem, totidem ad minimum termini in serie prima sint per divisibiles, quot sunt in secunda: tum dico productum ex omnibus numeris divisibile fore per productum ex omnibus numeris .

Exempl. Constet e numeris 12, 18, 45; ex his 3, 4, 5, 6, 9. Tum divisibiles erunt per 2, 4, 3, 9, 5 in 2, 1, 3, 2, 1 termini, in 2, 1, 3, 1, 1 termini, respective; productum autem omnium terminorum = 9720 divisibile est per productum omnium terminorum , 3240.

Demonstr. Sit productum ex omnibus terminis , , productum omnium terminorum seriei , . Patet quemvis numerum primum, qui sit divisor ipsius , etiam ipsius divisorem fore. Iam ostendemus quemvis factorem primum ipsius , in totidem ad minimum dimensiones habere, quot habeat in . Esto talis divisor , ponaturque, in serie terminos esse per divisibiles, terminos per divisibiles, terminos per divisibiles etc., similia denotent literae , , etc. pro serie , perspicieturque facile, in habere etc. dimensiones, in vero etc. At certe non maior quam , non maior quam etc. (hyp.); quare etc. certo non erit etc. — Quum itaque nullus numerus primus in plures dimensiones habere possit, quam in , per divisibilis erit (art. 17). Q. E. D.


127.

Lemma. In progressione , , , , , plures termini esse nequeunt per numerum quemcunque divisibiles, quam in hac , , ex totidem terminis constante.

Nullo enim negotio perspicitur, si fuerit multiplum ipsius , in utraque progressione terminos fore per divisibiles; sin minus, ponatur , ita ut sit , eruntque in priori serie termini per divisibiles, in posteriori autem vel toti dem vel .

Hinc tamquam Coroll. sequitur propositio ex numerorum figuratorum theoria nota, sed a nomine, ni fallimur, hactenus directe demonstrata, semper esse numerum integrum.

Denique Lemma hoc generalius ita proponi potuisset:

In progressione , , , totidem ad minimum dantur termini secundum modulum numero cuicunque dato, , congrui, quot in hac , , termini per divisibiles.


128.

Theorema. Sit numerus quicunque formae , numerus quicunque ad primus, cuius residuum , tandem numerus arbitrarius: tum dico, in progressione