Disquisitiones arithmeticae/Sectio quarta

Carolus Fridericus Gauss

Disquisitiones arithmeticae

Sectio quarta

1801

editio: ex opera omnia, Gottinga, 1870; Ernst Christian Julius Schering recensuit
fons: librum vide

SECTIO QUARTA

DE

CONGRUENTIIS SECUNDI GRADUS.

Residua et non-residua quadratica.

94.

Theorema. Numero quocunque $m$ pro modulo accepto, ex numeris $0$ , $1$ , $2$ , $3$ $\ldots$ $m-1$ , plures quam $\textstyle {\frac {1}{2}}m+1$ , quando $m$ est par, sive plures quam $\textstyle {\frac {1}{2}}m+{\frac {1}{2}}$ , quando $m$ est impar, quadrato congrui fieri non possunt.

Dem. Quoniam numerorum congruorum quadrata sunt congrua: quivis numerus, qui ulli quadrato congruus fieri potest, etiam quadrato alicui cuius radix $<m$ congruus erit. Sufficit itaque residua minima quadratorum $0$ , $1$ , $4$ , $9$ $\ldots$ $(m-1)^{2}$ considerare. At facile perspicitur, esse $(m-1)^{2}\equiv 1$ , $(m-2)^{2}\equiv 2^{2}\!$ , $(m-3)^{2}\equiv 3^{2}\!$ etc. Hinc etiam, quando $m$ est par, quadratorum $\textstyle ({\frac {1}{2}}m-1)^{2}\!$ et $\textstyle ({\frac {1}{2}}m+1)^{2}\!$ , $\textstyle ({\frac {1}{2}}m-2)^{2}\!$ et $\textstyle ({\frac {1}{2}}m+2)^{2}\!$ etc. residua minima eadem erunt: quando vero $m$ est impar, quadrata $\textstyle ({\frac {1}{2}}m-{\frac {1}{2}})^{2}\!$ et $\textstyle ({\frac {1}{2}}m+{\frac {1}{2}})^{2}\!$ , $\textstyle ({\frac {1}{2}}m-{\frac {3}{2}})^{2}\!$ et $\textstyle ({\frac {1}{2}}m+{\frac {3}{2}})^{2}\!$ etc. erunt congrua. Unde palam est, alios numeros, quam qui alicui ex quadratis $0$ , $1$ , $4$ , $9$ $\ldots$ $\textstyle ({\frac {1}{2}}m)^{2}\!$ congrui sint, quadrato congruos fieri non posse, quando $m$ par; quando vero impar, quemvis numerum, qui ulli quadrato sit congruus, alicui ex his $0$ , $1$ , $4$ , $9$ $\ldots$ $\textstyle ({\frac {1}{2}}m-{\frac {1}{2}})^{2}\!$ necessario congruum esse. Quare dabuntur ad summum in priori casu $\textstyle {\frac {1}{2}}m+1$ residua minima diversa, in posteriori $\textstyle {\frac {1}{2}}m+{\frac {1}{2}}$ . Q. E. D.

Exemplum. Secundum modulum 13 quadratorum numerorum 0, 1, 2, 3 … 6 residua minima inveniuntur 0, 1, 4, 9, 3, 12, 10, post haec vero eadem ordine inverso recurrunt 10, 12, 3 etc. Quare numerus quisque, nulli ex istis residuis congruus, sive qui alicui ex his est congruus, 2, 5, 6, 7, 8, 11, nulli quadrato congruus esse potest.

Secundum modulum 15 haec inveniuntur residua 0, 1, 4, 9, 1, 10, 6, 4, post quae eadem ordine inverso recurrunt. Hic igitur numerus residuorum, quae quadrato congrua fieri possunt, minor adhuc est quam $\textstyle {\frac {1}{2}}m+{\frac {1}{2}}$ , quum sint 0, 1, 4, 6, 9, 10. Numeri autem 2, 3, 5, 7, 8, 11, 12, 13, 14 et qui horum alicui sunt congrui, nulli quadrato secundum mod. 15 congrui fieri possunt.

95.

Hinc colligitur, pro quovis modulo omnes numeros in duas classes distingui posse, quarum altera contineat numeros, qui quadrato alicui congrui fieri possint, altera eos, qui non possint. Illos appellabimus residua quadratica numeri istius quem pro modulo accepimus^[1], hos vero ipsius non-residua quadratica, sive etiam, quoties ambiguitas nulla inde oriri potest, simpliciter residua et non-residua. Ceterum palam est sufficere, si omnes numeri $0$ , $1$ , $2$ $\ldots$ $m-1$ in classes redacti sint: numeri enim congrui ad eandem classem erunt referendi.

Etiam in hac disquisitione a modulis primis initium faciemus, quod itaque subintelligendum erit, etiamsi expressis verbis non moneatur. Numerus primus $2$ autem excludendus, sive numeri primi impares tantum considerandi.

Quoties modulus est numerus primus, multitudo residuorum ipso minorum multitudini non-residuorum aequalis.

96.

Numero primo $p$ pro modulo accepto, numerorum $1$ , $2$ , $3$ $\ldots$ $p-1$ semissis erunt residua quadratica, reliqui non-residua, i. e. dabuntur ${\scriptstyle {\frac {1}{2}}}(p-1)$ residua totidemque non-residua.

Facile enim probatur, omnia quadrata $1$ , $4$ , $9\ldots$ ${\scriptstyle {\frac {1}{4}}}(p-1)^{2}\!$ esse incongrua. Scilicet si fieri posset $\textstyle rr\equiv r'\!r'\!{\pmod {p}}$ atque numeri $r$ , $r'\!$ inaequales et non maiores quam ${\scriptstyle {\frac {1}{2}}}(p-1)$ posito $r>r'\!$ i. q. licet, fieret $(r-r')(r+r')$ positivus et per $p$ divisibilis. At uterque factor $r-r'\!$ , et $r+r'\!$ ipso $p$ est minor, quare suppositio consistere nequit (art. 13). Habentur itaque $\textstyle {\frac {1}{2}}(p-1)$ residua quadratica inter hos numeros $1$ , $2$ , $3$ $\ldots$ $p-1$ contenta; plura vero inter ipsos esse nequeunt, quia accedente residuo $0$ prodeunt $\textstyle {\frac {1}{2}}(p+1)$ , quem numerum omnium residuorum multitudo superare nequit. Quare reliqui numeri erunt non-residua horumque multitudo $\textstyle ={\frac {1}{2}}(p-1)$ .

Quum cifra semper sit residuum, hanc numerosque per modulum divisibiles ab investigationibus his excludimus, quia hic casus per se est clarus, theorematumque concinnitatem tantum turbaret. Ex eadem caussa etiam modulum $2$ exclusimus.

97.

Quum plura quae in hac Sect. exponemus, etiam ex principiis Sect. praec. derivari possint, neque inutile sit, eandem veritatem per methodos diversas perscrutari, hunc nexum ostendemus. Facile vero intelligitur, omnes numeros quadrato congruos, indices pares habere, eos contra, qui quadrato nullo modo congrui fieri possint, impares. Quia vero $p-1$ est numerus par, tot indices pares erunt quot impares, scilicet $\textstyle {\frac {1}{2}}(p-1)$ , totidemque tum residua tum non-residua dabuntur.

Exempla. Pro modulis		sunt residua
3	…	1.
5	…	1, 4.
7	…	1, 2, 4.
11	…	1, 3, 4, 5, 9.
13	…	1, 3, 4, 9, 10, 12.
17	…	1, 2, 4, 8, 9, 13, 15, 16.
	etc.

reliqui vero numeri his modulis minores, non-residua.

Quaestio, utrum numerus compositus residuum numeri primi dati sit an non-residuum, ab indole factorum pendet.

98.

Theorema. Productum e duobus residuis quadraticis numeri primi $p$ , est residuum; productum e residuo in non-residuum, est non-residuum; denique productum e duobus non-residuis, residuum.

Demonstr. I. Sint $A$ , $B$ residua e quadratis $aa$ , $bb$ oriunda sive $A\equiv aa$ , $B\equiv bb$ , eritque productum $AB$ quadrato numeri ab congruum i. e. residuum.

II. Quando $A$ est residuum, puta $\equiv aa$ , $B$ vero non-residuum, $AB$ erit non-residuum. Ponatur enim, si fieri potest, $AB\equiv kk$ , sitque valor expressionis $\textstyle {\frac {k}{a}}{\pmod {p}}\equiv b$ ; erit itaque $aaB\equiv aabb$ , unde $B\equiv bb$ , i. e. $B$ residuum contra hyp.

Aliter. Multiplicentur omnes numeri, qui inter hos $1$ , $2$ , $3$ $\ldots$ $p-1$ sunt residua (quorum multitudo $={\scriptstyle {\frac {1}{2}}}(p-1)$ ), per $A$ omniaque producta erunt residua quadratica, et quidem erunt omnia incongrua. Iam si non-residuum $B$ per $A$ multiplicatur, productum nulli productorum quae iam habentur congruum erit; quare si residuum esset, haberentur ${\scriptstyle {\frac {1}{2}}}(p+1)$ residua incongrua, inter quae nondum est residuum $0$ , contra art. 96.

III. Sint $A$ , $B$ non-residua. Multiplicentur omnes numeri, qui inter hos $1$ , $2$ , $3$ $\ldots$ $p-1$ sunt residua, per $A$ , habebunturque ${\scriptstyle {\frac {1}{2}}}(p-1)$ non-residua inter se incongrua (II); iam productum $AB$ nulli illorum congruum esse potest; quodsi igitur esset non-residuum, haberentur ${\scriptstyle {\frac {1}{2}}}(p+1)$ non-residua inter se incongrua, contra art. 96. Quare productum etc. Q. E. D.

Facilius adhuc haec theoremata e principiis sect. praec. derivantur. Quia enim residuorum indices semper sunt pares, non-residuorum vero impares, index producti e duobus residuis vel non-residuis erit par, adeoque productum ipsum, residuum. Contra index producti e residuo in non-residuum erit impar adeoque productum ipsum non-residuum.

Utraque demonstrandi methodus etiam pro his theorematibus adhiberi potest: Expressionis $\textstyle {\frac {a}{b}}{\pmod {p}}$ valor erit residuum, quando numeri $a$ , $b$ simul sunt residua, vel simul non-residua; contra autem erit non-residuum, quando numerorum $a$ , $b$ alter est residuum, alter non-residuum. Possunt etiam ex conversione theorr. praecc. obtineri.

99.

Generaliter, productum ex quotcunque factoribus est residuum tum quando omnes sunt residua, tum quando non-residuorum, quae inter eos occurrunt, multitudo est par; quando vero multitudo non-residuorum quae inter factores reperiuntur, est impar, productum erit non-residuum. Facile itaque diiudicari potest, utrum numerus compositus sit residuum necne, si modo, quid sint singuli ipsius factores constet. Quamobrem in tabula II numeros primos tantummodo recepimus. Oeconomia huius tabulae haec est. In margine positi sunt moduli^[2], in facie vero numeri primi successivi; quando ex his aliquis fuit residuum moduli alicuius, in spatio utrique respondente lineola collocata est, quando vero numerus primus fuit non-residuum moduli, spatium respondens vacuum mansit.

De modulis, qui sunt numeri compositi.

100.

Antequam ad difficiliora progrediamur, quaedam de modulis non primis adiicienda sunt.

Si numeri primi $p$ , potestas aliqua $p^{n}$ pro modulo assumitur (ubi $p$ non esse $2$ supponimus), omnium numerorum per $p$ non divisibilium moduloque minorum altera semissis erunt residua, altera non-residua, i. e. utrorumque multitudo $={\scriptstyle {\frac {1}{2}}}(p-1)p^{n-1}\!$ .

Si enim $r$ est residuum: quadrato alicui congruus erit, cuius radix moduli dimidium non superat, vid. art. 94. Iam facile perspicitur, dari ${\scriptstyle {\frac {1}{2}}}(p-1)p^{n-1}\!$ numeros per $p$ non divisibiles modulique semisse minoribus; superest itaque ut demonstretur, omnium horum numerorum quadrata incongrua esse, sive residua quadratica diversa suppeditare. Quodsi duorum numerorum $a,b$ per $p$ non divisibilium modulique semisse minorum quadrata essent congrua, foret $aa-bb$ sive $(a-b)(a+b)$ per $p^{n}\!$ divisibilis (posito i. q. licet $a>b$ ). Hoc vero fieri non potest, nisi vel alter numerorum $a-b$ , $a+b$ per $p^{n}\!$ fuerit divisibilis, quod fieri nequit, quoniam uterque $<p^{n}\!$ , vel alter per $p^{m}\!$ alter vero per $p^{n-m}\!$ , i. e. uterque per $p$ . Sed etiam hoc fieri nequit. Manifesto enim etiam summa et differentia $2a$ et $2b$ per $p$ foret divisibilis adeoque etiam $a$ et $b$ contra hyp. — Hinc tandem colligitur inter numeros per $p$ non divisibiles moduloque minores ${\scriptstyle {\frac {1}{2}}}(p-1)p^{n}\!$ residua dari, reliquos quorum multitudo aeque magna, esse non-residua, Q. E. D. — Potest etiam theorema hoc ex consideratione indicum derivari simili modo ut art. 97.

101.

Quivis numerus per $p$ non divisibilis, qui ipsius $p$ est residuum, erit residuum etiam ipsius $p^{n}\!$ ; qui vero ipsius $p$ est non-residuum, etiam ipsius $p^{n}\!$ non-residuum erit.

Pars posterior huius propositionis per se est manifesta. Si itaque prior falsa esset, inter numeros ipso $p^{n}\!$ minores simulque per $p$ non divisibiles plures forent residua ipsius $p$ quam ipsius $p^{n}\!$ , i. e. plures quam ${\scriptstyle {\frac {1}{2}}}p^{n-1}(p-1)$ . Nullo vero negotio perspici poterit, multitudinem residuorum numeri $p$ inter illos numeros esse praecise $={\scriptstyle {\frac {1}{2}}}p^{n-1}(p-1)$ .

Aeque facile est, quadratum reipsa invenire, quod secundum modulum $p^{n}\!$ residuo dato sit congruum, si quadratum huic residuo secundum modulum $p$ congruum habetur.

Scilicet si quadratum habetur, $aa$ , quod residuo dato $A$ secundum modulum $p^{\mu }\!$ est congruum, deducitur inde quadratum ipsi $A$ secundum modulum $p^{\nu }\!$ congruum (ubi $\nu >\mu$ et $=$ vel $<2\mu$ supponitur) sequenti modo. Ponatur radix quadrati quaesiti $=\pm a+xp^{\mu }\!$ , quam formam eam habere debere facile perspicitur; debetque esse $aa\pm 2axp^{\mu }+xxp^{2\mu }$ $\equiv$ $\textstyle A{\pmod {p^{\nu }}}$ sive propter $2\mu >\nu$ , $A-aa$ $\equiv$ $\textstyle \pm 2axp^{\mu }\!{\pmod {p^{\nu }}}$ . Sit $A-aa=p^{\mu }d$ , eritque $x$ valor expressionis $\textstyle \pm {\frac {d}{2a}}{\pmod {p^{\nu -\mu }}}$ , quae huic $\textstyle \pm {\frac {A-aa}{2ap^{\mu }}}{\pmod {p^{\nu }}}$ aequivalet.

Dato igitur quadrato ipsi $A$ secundum $p$ congruo, deducitur inde quadratum ipsi $A$ secundum modulum $p^{2}\!$ congruum; hinc ad modulum $p^{4}\!$ , hinc ad $p^{8}\!$ etc. ascendi poterit.

Ex. Proposito residuo 6, quod secundum modulum 5 quadrato 1 congruum, invenitur quadratum 9² cui secundum 25 est congruum, 16² cui secundum 125 congruum etc.

102.

Quod vero attinet ad numeros per $p$ divisibiles, patet, eorum quadrata per $pp$ fore divisibilia, adeoque omnes numeros per $p$ quidem divisibiles, neque vero per $pp$ , ipsius $p^{n}\!$ fore non-residua. Generaliter vero, si proponitur numerus $p^{k}A\!$ , ubi $A$ per $p$ non est divisibilis, hi casus erunt distinguendi:

1) Quando $k=$ vel $>n$ , erit $\textstyle p^{k}A\equiv 0{\pmod {p^{n}}}$ , i. e. residuum.

2) Quando $k<n$ atque impar, erit $p^{k}A$ non-residuum.

Si enim esset $p^{k}A$ $=$ $p^{2\kappa +1}A$ $\equiv$ $\textstyle ss{\pmod {p^{n}}}$ , $ss$ per $p^{2\kappa +1}\!$ divisibilis esset, id quod aliter fieri nequit, quam si fuerit $s$ per $p^{\kappa +1}\!$ divisibilis. Tunc vero $ss$ etiam per $p^{2\kappa +2}\!$ divisibilis, adeoque etiam (quia $2\kappa +2$ certo non maior quam $n$ ) $p^{k}A$ i. e. $p^{2\kappa +1}A$ ; sive $A$ per $p$ , contra hyp.

3) Quando $k<n$ atque par. Tum $p^{k}A$ erit residuum vel non-residuum ipsius $p^{n}\!$ , prout $A$ est residuum vel non-residuum ipsius $p$ . Quando enim $A$ est residuum ipsius $p$ , erit etiam residuum ipsius $p^{n-k}\!$ . Posito autem $\textstyle A\equiv aa{\pmod {p^{n-k}}}$ erit $\textstyle Ap^{k}\equiv aap^{k}\!{\pmod {p^{n}}}$ , $aap^{k}\!$ vero est quadratum. Quando autem $A$ est non-residuum ipsius $p$ , $p^{k}A$ residuum ipsius $p^{n}\!$ esse nequit. Ponatur enim $\textstyle p^{k}A\equiv aa{\pmod {p^{n}}}$ , eritque necessario $aa$ per $p^{k}\!$ divisibilis. Quotiens erit quadratum, cui $A$ secundum modulum $p^{n-k}\!$ adeoque etiam secundum modulum $p$ congruus, i. e. $A$ erit residuum ipsius $p$ contra hyp.

103.

Quoniam casum $p=2$ exclusimus, de hoc adhuc quaedam dicenda. Quando numerus $2$ est modulus, numerus quicunque erit residuum, non-residua nulla erunt. Quando vero $4$ est modulus, omnes numeri impares formae $4k+1$ erunt residua, omnes vero formae $4k+3$ non-residua. Tandem quando $8$ aut altior potestas numeri $2$ est modulus, omnes numeri impares formae $8k+1$ erunt residua, reliqui vero, seu ii qui sunt formarum $8k+3$ , $8k+5$ , $8k+7$ , erunt non-residua. Pars posterior huius propositionis inde clara, quod quadratum cuiusvis numeri imparis, sive sit formae $4k+1$ , sive formae $4k-1$ , fit formae $8k+1$ . Priorem ita probamus.

1) Si duorum numerorum vel summa vel differentia per $2^{n-1}\!$ est divisibilis, numerorum quadrata erunt congrua secundum modulum $2^{n}\!$ . Si enim alter ponitur $=a$ , erit alter formae $2^{n-1}h\pm a$ , cuius quadratum invenitur $\textstyle \equiv aa{\pmod {2^{n}}}$ .

2) Quivis numerus impar, qui ipsius $2^{n}\!$ est residuum quadraticum, congruus erit quadrato alicui, cuius radix est numerus impar et $<2^{n-2}\!$ . Sit enim quadratum quodcunque, cui numerus ille congruus, $aa$ atque numerus $\textstyle a\equiv \pm \alpha {\pmod {2^{n-1}}}$ , ita ut $\alpha$ moduli semissem non superet (art. 4), eritque $aa\equiv \alpha \alpha$ . Quare etiam numerus propositus erit $\equiv \alpha \alpha$ . Manifesto vero tum $a$ tum $\alpha$ erunt impares atque $\alpha <2^{n-2}\!$ .

3) Omnium numerorum imparium ipso $2^{n-2}\!$ minorum quadrata secundum $2^{n}\!$ incongrua erunt. Sint enim duo tales numeri $r$ et $s$ , quorum quadrata si secundum $2^{n}\!$ essent congrua, foret $(r-s)(r+s)$ per $2^{n}\!$ divisibilis (posito $r>s$ ). Facile vero perspicitur numeros $r-s$ , $r+s$ simul per $4$ divisibiles esse non posse, quare si alter tantummodo per $2$ est divisibilis, alter, ut productum per $2^{n}\!$ divisibilis fieret, per $2^{n-1}\!$ divisibilis esse deberet, Q. E. A. quoniam uterque $<2^{n-2}\!$ .

4) Quodsi denique haec quadrata ad residua sua minima positiva reducuntur, habebuntur $2^{n-3}\!$ residua quadratica diversa modulo minora^[3], quorum quodvis erit formae $8k+1$ . Sed quum praecise $2^{n-3}\!$ numeri formae $8k+1$ modulo minores exstent, necessario hi omnes inter illa residua reperientur. Q. E. D.

Ut quadratum numero dato formae $8k+1$ secundum modulum $2^{n}\!$ congruum inveniatur, methodus similis adhiberi potest, ut in art. 101; vid. etiam art. 88. — Denique de numeris paribus eadem valent, quae art. 102 generaliter exposuimus.

104.

Circa multitudinem valorum diversorum (i. e. secundum modulum incongruorum), quos expressio talis $\textstyle V=\surd {A}{\pmod {p^{n}}}$ admittit, siquidem $A$ est residuum ipsius $p^{n}\!$ facile e praecc. colliguntur haec. (Numerum $p$ supponimus esse primum, ut ante, et brevitatis caussa casum $n=1$ statim includimus). I. Si $A$ per $p$ non est divisibilis, $V$ unum valorem habet pro $p=2$ , $n=1$ , puta $V\equiv 1$ ; duos, quando $p$ est impar, nec non pro $p=2$ , $n=2$ , puta ponendo unum $\equiv v$ , alter erit $\equiv -v$ ; quatuor pro $p=2$ , $n>2$ , scilicet ponendo unum $\equiv v$ , reliqui erunt $\equiv -v$ , $2^{n-1}+v$ , $2^{n-1}-v$ . II. Si $A$ per $p$ divisibilis est, neque vero per $p^{n}\!$ , sit potestas altissima ipsius $p$ ipsum $A$ metiens $p^{2\mu }\!$ (manifesto enim ipsius exponens par esse debebit) atque $A=ap^{2\mu }\!$ . Tunc patet, omnes valores ipsius $V$ per $p^{\mu }\!$ divisibiles esse, et quotientes e divisione ortos fieri valores expr. $\textstyle V'=\surd {a}{\pmod {p^{n-2\mu }}}$ ; hinc omnes valores diversi ipsius $V$ prodibunt, multiplicando omnes valores expr. $V'$ inter $0$ et $p^{n-\mu }\!$ sitos per $p^{\mu }\!$ quare illi exhibebuntur per $vp^{\mu },\ vp^{\mu }+p^{n-\mu }\!,\ vp^{\mu }+2p^{n-\mu }\!\ldots \ vp^{\mu }+(p^{\mu }-1)p^{n-\mu }$ si $v$ indefinite omnes valores diversos expr. $V'$ exprimit, ita ut illorum multitudo fiat $p^{\mu }\!$ , $2p^{\mu }\!$ vel $4p^{\mu }\!$ , prout multitudo horum (per casum I) est $1$ , $2$ vel $4$ . III. Si $A$ per $p^{n}\!$ divisibilis est, facile perspicietur, statuendo $n=2m$ vel $=2m-1$ , prout par est vel impar, omnes numeros per $p^{m}\!$ divisibiles, neque ullos alios, esse valores ipsius $V$ ; quare omnes valores diversi hi erunt $0$ , $p^{m}\!$ , $2p^{m}\!$ $\ldots$ $(p^{n-m}-1)p^{m}\!$ , quorum multitudo $p^{n-m}\!$ .

105.

Superest casus, ubi modulus $m$ e pluribus numeris primis compositus est. Sit $m=abc\ldots$ , designantibus $a$ , $b$ , $c$ etc. numeros primos diversos aut primorum diversorum potestates, patetque statim, si $n$ sit residuum ipsius $m$ , fore etiam $n$ residuum singulorum $a$ , $b$ , $c$ etc., adeoque $n$ certo non-residuum ipsius $m$ esse, si fuerit NR. ullius e numeris $a$ , $b$ , $c$ etc. Vice versa autem, si $n$ singulorum $a$ , $b$ , $c$ etc. residuum est, etiam residuum producti $m$ erit. Supponendo enim, $n\equiv A^{2}\!$ , $B^{2}\!$ , $C^{2}\!$ etc. sec. mod. $a$ , $b$ , $c$ etc. resp., patet, si numerus $N$ ipsis $A$ , $B$ , $C$ etc. sec. mod. $a$ , $b$ , $c$ etc resp. congruus eruatur (art. 32), fore $n\equiv NN$ secundum omnes hos modulos adeoque etiam secundum productum $m$ . — Quum facile perspiciatur, hoc modo e combinatione cuiusvis valoris ipsius $A$ sive expr. $\textstyle \surd {n}{\pmod {a}}$ cum quovis valore ipsius $B$ cum quovis valore ipsius $C$ etc. oriri valorem ipsius $N$ sive $\textstyle \surd {n}{\pmod {m}}$ , nec non e combinationibus diversis produci diversos $N$ , et e cunctis cunctos: multitudo omnium valorum diversorum ipsius $N$ aequalis erit producto e multitudinibus valorum ipsorum $A$ , $B$ , $C$ etc., quas determinare in art. praec. docuimus. — Porro manifestum est, si unus valor expressionis $\textstyle \surd {n}{\pmod {m}}$ sive ipsius $N$ fuerit notus, hunc simul fore valorem omnium $A$ , $B$ , $C$ etc.; et quum hinc per art. praec. omnes reliqui valores harum quantitatum deduci possint, facile sequitur, ex uno valore ipsius $N$ omnes reliquos obtineri posse.

Ex. Sit modulus 315, cuius residuum an non-residuum sit 46, quaeritur. Divisores primi numeri 315 sunt 3, 5, 7, atque numerus 46 residuum cuiusvis eorum, quare etiam ipsius 315 erit residuum. Porro, quia 46 ≡ 1, et ≡ 64 (mod. 9); ≡ 1 et ≡ 16 (mod. 5); ≡ 4 et ≡ 25 (mod. 7), inveniuntur radices quadratorum, quibus 46 secundum modulum 315 congruus, 19, 26, 44, 89, 226, 271, 289, 296.

Criterium generale, utrum numerus datus numeri primi dati residuum sit an non-residuum.

106.

Ex praecedentibus colligitur, si tantummodo semper dignosci possit, utrum numerus primus datus numeri primi dati residuum sit an non-residuum, omnes reliquos casus ad hunc reduci posse. Pro illo itaque casu criteria certa omni studio nobis erunt indaganda. Antequam autem hanc perquisitionem aggrediamur, criterium quoddam exhibemus ex Sect. praec. petitum, quod quamvis in praxi nullum fere usum habeat, tamen propter simplicitatem atque generalitatem memoratu dignum est.

Numerus quicunque $A$ per numerum primum $2m+1$ non divisibilis, huius primi residuum est vel non-residuum, prout $A^{m}\equiv +1$ vel $\textstyle -1{\pmod {2m+1}}$ .

Sit enim pro modulo $2m+1$ in systemate quocunque numeri $A$ index $a$ , eritque $a$ par, quando $A$ est residuum ipsius $2m+1$ , impar vero quando $A$ non-residuum. At numeri $A^{m}\!$ index erit $ma$ , i. e. $\equiv 0$ vel $\textstyle \equiv m{\pmod {2m}}$ , prout $a$ par vel impar. Hinc denique $A^{m}\!$ in priori casu erit $\equiv +1$ , in posteriori vero $\textstyle \equiv -1{\pmod {2m+1}}$ . V. artt. 57, 62.

Ex. 3 ipsius 13 est residuum, quia 3⁶ ≡ 1 (mod. 13), 2 vero ipsius 13 non-residuum, quoniam 2⁶ ≡ -1 (mod. 13).

At quoties numeri examinandi mediocriter sunt magni, hoc criterium ob calculi immensitatem prorsus inutile erit.

Disquisitiones de numeris primis quorum residua aut non-residua sint numeri dati.

107.

Facillimum quidem est, proposito modulo, omnes assignare numeros, qui ipsius residua sunt vel non-residua. Scilicet si ille numerus ponitur $=m$ , determinari debent quadrata, quorum radices semissem ipsius $m$ non superant, sive etiam numeri his quadratis secundum $m$ congrui (ad praxin methodi adhuc expeditiores dantur), tuncque omnes numeri horum alicui secundum $m$ congrui, erunt residua ipsius $m$ , omnes autem numeri nulli istorum congrui erunt non-residua. — At quaestio inversa, proposito numero aliquo, assignare omnes numeros, quorum ille sit residuum vel non-residuum, multo altioris est indaginis. Hoc itaque problema, a cuius solutione illud quod in art. praec. nobis proposuimus pendet, in sequentibus perscrutabimur, a casibus simplicissimis inchoantes.

Residuum $-1$ .

108.

Theorema. Omnium numerorum primorum formae $4n+1$ , $-1$ est residuum quadraticum, omnium vero numerorum primorum formae $4n+3$ non-residuum.

Ex. $-1$ est residuum numerorum 5, 13, 17, 29, 37, 41, 53, 61, 73, 89, 97 etc., e quadratis numerorum 2, 5, 4, 12, 6, 9, 23, 11, 27, 34, 22 etc. respective oriundum; contra non-residuum est numerorum 3, 7, 11, 19, 23, 31, 43, 47, 59, 67, 71, 79, 83 etc.

Mentionem huius theor. iam in art. 64 fecimus. Demonstratio vero facile ex art. 106 petitur. Etenim pro numero primo formae $4n+1$ est $(-1)^{2n}\equiv 1$ , pro numero autem formae $4n+3$ habetur $(-1)^{2n+1}\equiv -1$ . Convenit haec demonstratio cum ea, quam l. c. tradidimus. Sed propter theorematis elegantiam atque utilitatem non superfluum erit, alio adhuc modo idem ostendisse.

109.

Designemus complexum omnium residuorum numeri primi $p$ , quae ipso $p$ sunt minora, excluso residuo $0$ , per literam $C$ , et quoniam horum residuorum multitudo semper $={\tfrac {p-1}{2}}$ , manifestum est, eam fore parem, quoties $p$ sit formae $4n+1$ , imparem vero, quoties $p$ sit formae $4n+3$ . Dicantur, ad instar art. 77, ubi de numeris in genere agebatur, residua socia talia, quorum productum $\textstyle \equiv 1{\pmod {p}}$ ; manifeste enim si $r$ est residuum, etiam $\textstyle {\frac {1}{r}}{\pmod {p}}$ residuum erit. Et quoniam idem residuum plura socia inter residua $C$ habere nequit, patet, omnia residua $C$ in classes distribui posse, quarum quaevis bina residua socia contineat. Iam perspicuum est, si nullum residuum daretur, quod sibi ipsi esset socium, i. e. si quaevis classis bina residua inaequalia contineret, omnium residuorum numerum fore duplum numeri omnium classium; quodsi vero aliqua dantur residua sibi ipsis socia i. e. aliquae classes, quae unicum tantum residuum aut, si quis malit, idem residuum bis continent, posita harum classium multitudine $=a$ , reliquarumque multitudine $=b$ ; erit omnium residuorum $C$ numerus $=a+2b$ . Quare quando $p$ est formae $4n+1$ , erit $a$ numerus par; quando autem $p$ est formae $4n+3$ , erit $a$ impar. At numeri ipso $p$ minores alii, quam $1$ et $p-1$ , sibi ipsis socii esse nequeunt (vid. art. 77); priorque $1$ certo inter residua occurrit; unde in priori casu $p-1$ (seu quod hic idem valet, $-1$ ) debet esse residuum, in posteriori vero non-residuum; alias enim in illo casu foret $a=1$ , in hoc autem $=2$ , quod fieri nequit.

110.

Etiam haec demonstratio ill. Eulero debetur, qui et priorem primus invenit V. Opusc. Anal. T. I. p. 135. — Facile quisquis videbit eam similibus principiis innixam esse, ut demonstratio nostra secunda theor. Wilsoniani art. 77. Si vero hoc theorema supponere velimus, facilius adhuc demonstratio exhiberi poterit. Scilicet inter numeros $1$ , $2$ , $3$ $\ldots$ $p-1$ erunt ${\tfrac {p-1}{2}}$ residua quadratica ipsius $p$ totidemque non-residua; quare non-residuorum multitudo erit par, quando $p$ est formae $4n+1$ ; impar, quando $p$ est formae $4n+3$ . Hinc productum ex omnibus numeris $1$ , $2$ , $3$ $\ldots$ $p-1$ in priori casu erit residuum, in posteriori non-residuum (art. 99). At productum hoc semper $\textstyle \equiv -1{\pmod {p}}$ ; adeoque etiam $-1$ in priori casu residuum, in posteriori non-residuum erit.

111.

Si itaque $r$ est residuum numeri alicuius primi formae $4n+1$ , etiam $-r$ huius primi residuum erit; omnia autem talis numeri non-residua, etiam signo contrario sumta non-residua manebunt^[4]. Contrarium evenit pro numeris primis formae $4n+3$ , quorum residua quando signum mutatur, non-residua fiunt et vice versa, vid. art. 98.

Ceterum facile ex praecedentibus derivatur regula generalis: $-1$ est residuum omnium numerorum, qui neque per $4$ neque per ullum numerum primum formae $4n+3$ dividi possunt; omnium reliquorum non-residuum. V. artt. 103 et 105.

Residua $+2$ et $-2$ .

112.

Progredimur ad residua $+2$ et $-2$ .

Si ex tabula II colligimus omnes numeros primos, quorum residuum est $+2$ , hos habebimus: 7, 17, 23, 31, 41, 47, 71, 73, 79, 89, 97. Facile autem animadvertitur, inter hos numeros nullos inveniri formarum $8n+3$ et $8n+5$ .

Videamus itaque, num haec inductio ad certitudinem evehi possit.

Primum observamus, quemvis numerum compositum formae $8n+3$ vel $8n+5$ necessario factorem primum alterutrius formae $8n+3$ vel $8n+5$ , involvere; manifesto enim e solis numeris primis formarum $8n+1$ , $8n+7$ , alii numeri quam qui sunt formae $8n+1$ vel $8n+7$ , componi nequeunt. Quodsi itaque inductio nostra generaliter est vera, nullus omnino numerus formae $8n+3$ , $8n+5$ dabitur, cuius residuum $+2$ ; sicque nullus certe numerus huius formae infra $100$ exstat, cuius residuum sit $+2$ . Si autem ultra hunc limitem tales numeri reperirentur, ponamus minimum omnium $=t$ . Erit itaque $t$ vel formae $8n+3$ vel $8n+5$ ; $+2$ ipsius residuum erit, omnium autem numerorum similium minorum non-residuum. Ponatur $\textstyle 2\equiv aa{\pmod {t}}$ poteritque $a$ ita semper accipi, ut sit impar simulque $<t$ , (habebit enim $a$ ad minimum duos valores positives ipso $t$ minores quorum summa $=t$ , quorumque adeo alter par alter impar v. artt. 104. 105). Quo facto sit $aa=2+tu$ , sive $tu=aa-2$ , eritque $aa$ formae $8n+1$ , $tu$ igitur formae $8n-1$ , adeoque $u$ formae $8n+3$ vel $8n+5$ , prout $t$ est formae posterioris vel prioris. At ex aequatione $aa=2+tu$ sequitur, etiam $\textstyle 2\equiv aa{\pmod {u}}$ i. e. $2$ etiam ipsius $u$ residuum fore. Facile vero perspicitur, esse $u<t$ , quare $t$ non est minimus numerus inductioni nostrae contrarius contra hyp. Unde manifesto sequitur id quod per inductionem inveneramus, generaliter verum esse.

Combinando haec cum prop. art. 111 sequentia theoremata nanciscimur.

I. Numerorum omnium primorum formae $8n+3$ , $+2$ erit non-residuum, $-2$ vero residuum.

II. Numerorum omnium primorum formae $8n+5$ tum $+2$ tum $-2$ erunt non-residua.

113.

Per similem inductionem ex tab. II inveniuntur numeri primi, quorum residuum est $-2$ hi: 3, 11, 17, 19, 41, 43, 59, 67, 73, 83, 89, 97^[5]. Inter quos quum nulli inveniantur formarum $8n+5$ , $8n+7$ , num etiam haec inductio theorematis generalis vim adipisci possit, investigemus. Ostenditur simili modo ut in art. praec., quemvis numerum compositum formae $8n+5$ vel $8n+7$ , factorem primum involvere formae $8n+5$ vel formae $8n+7$ , ita ut, si inductio nostra generaliter vera, $-2$ nullius omnino numeri formae $8n+5$ vel $8n+7$ residuum esse possit. Si autem tales numeri darentur, ponatur omnium minimus $=t$ , fiatque $-2=aa-tu$ . Ubi si uti supra $a$ impar ipsoque $t$ minor accipitur, $u$ erit formae $8n+5$ vel $8n+7$ , prout $t$ formae $8n+7$ vel $8n+5$ . At ex eo quod $aa+2=tu$ atque $a<t$ , quisquis facile derivare poterit, etiam $u$ ipso $t$ minorem fore. Denique $-2$ etiam ipsius $u$ residuum erit, i. e. $t$ non erit minimus numerus, qui inductioni nostrae adversatur, contra hyp. Quare necessario $-2$ omnium numerorum formarum $8n+5$ , $8n+7$ non-residuum.

Combinando haec cum prop. art. 111, prodeunt theoremata haec:

I. Omnium numerorum primorum $8n+5$ , tum $-2$ tum $+2$ sunt non-residua, uti iam in art. praec. invenimus.

II. Omnium numerorum primorum formae $8n+7$ , $-2$ est non-residuum, $+2$ vero residuum.

Ceterum in utraque demonstratione pro $a$ etiam valorem parem accipere potuissemus; tunc autem casum ubi $a$ fuisset formae $4n+2$ , ab eo distinguere oportuisset, ubi $a$ formae $4n$ . Evolutio autem perinde procedit uti supra, nullique difficultati est obnoxia.

114.

Unus adhuc superest casus, scilicet ubi numerus primus est formae $8n+1$ . Hic vero methodum praecedentem eludit, artificiaque prorsus peculiaria postulat.

Sit pro modulo primo $8n+1$ , radix quaecunque primitiva $a$ , eritque (art. 62) $a^{4n}\equiv$ $\textstyle -1{\pmod {8n+1}}$ , quae congruentia ita etiam exhiberi potest, $(a^{2n}+1)^{2}\equiv$ $\textstyle 2a^{2n}\!{\pmod {8n+1}}$ , sive etiam ita, $(a^{2n}-1)^{2}\equiv 2a^{2n}\!$ . Unde sequitur, tum $2a^{2n}\!$ tum $-2a^{2n}\!$ ipsius $8n+1$ esse residuum: at quia $a^{2n}\!$ est quadratum per modulum non divisibile, manifeste etiam tum $+2$ tum $-2$ residua erunt (art. 98).

115.

Haud inutile erit, adhuc aliam huius theorematis demonstrationem adiicere, quae similem relationem ad praecedentem habet, ut theorematis art. 108 demonstratio secunda (art. 109) ad primam (art. 108). Periti facilius tunc perspicient, binas demonstrationes tam illas quam has non adeo heterogeneas esse, quam primo forsan aspectu videantur.

I. Pro modulo quocunque primo formae $4n+1$ , inter numeros ipso minores $1$ , $2$ , $3$ $\ldots$ $4m$ , reperientur $m$ , qui biquadrato congrui esse possunt, reliqui vero $3m$ non poterunt.

Facile quidem hoc ex principiis Sect. praec. derivatur, sed etiam absque his demonstratio haud difficilis. Demonstravimus enim, pro tali modulo $-1$ semper esse residuum quadraticum. Sit itaque $ff\equiv -1$ patetque, si $z$ fuerit numerus quicunque per modulum non divisibilis, quaternorum numerorum $+z$ , $-z$ , $+fz$ , $-fz$ (duos incongruos esse facile perspicitur) biquadrata inter se congrua fore; porro manifestum est, biquadratum numeri cuiuscunque, qui nulli ex his quatuor congruus, illorum biquadratis congruum fieri non posse, (alias enim congruentia $x^{4}\equiv z^{4}\!$ quae est quarti gradus, plures quam $4$ radices haberet, contra art. 43). Hinc facile colligitur, omnes numeros $1$ , $2$ , $3$ , $\ldots$ $4m$ , tantummodo $m$ biquadrata incongrua praebere, quibus inter eosdem numeros $m$ congrui reperientur, reliqui autem nulli biquadrato congrui esse poterunt.

II. Secundum modulum primum formae $8n+1$ , $-1$ biquadrato congruus fieri poterit ( $-1$ erit residuum biquadraticum huius numeri primi).

Omnium enim residuorum biquadraticorum ipso $8n+1$ minorum (cifra exclusa) multitudo erit $=2n$ i. e. par. Porro facile probatur, si $r$ fuerit residuum biquadraticum ipsius $8n+1$ , etiam valorem expr. $\textstyle {\frac {1}{r}}{\pmod {8n+1}}$ fore tale residuum. Hinc omnia residua biquadratica in classes simili modo distribui poterunt, uti in art. 109 residua quadratica distribuimus: nec non reliqua demonstrationis pars prorsus eodem modo procedit ut illic.

III. Iam sit $g^{4}\equiv -1$ , et $h$ valor expr. $\textstyle {\frac {1}{g}}{\pmod {8n+1}}$ . Tunc erit $(g\pm h)^{2}=g^{2}+h^{2}\pm 2gh\equiv g^{2}+h^{2}\pm 2$ (propter $gh\equiv 1$ ). At $g^{4}\equiv -1$ , adeoque $-h^{2}\equiv g^{4}h^{2}\equiv g^{2}\!$ , unde tandem $g^{2}+h^{2}\equiv 0$ , atque $(g\pm h)^{2}\equiv \pm 2$ i. e. tum $+2$ tum $-2$ residuum quadraticum ipsius $8n+1$ . Q. E. D.

116.

Ceterum ex praecc. facile regula sequens generalis deducitur : $+2$ est residuum numeri cuiusvis, qui neque per $4$ , neque per ullum primum formae $8n+3$ vel $8n+5$ dividi potest, reliquorum autem (ex. gr. omnium numerorum formarum $8n+3$ , $8n+5$ , sive sint primi, sive compositi) non-residuum.

$-2$ est residuum numeri cuiusvis, qui neque per $4$ , neque per ullum primum formae $8n+5$ vel $8n+7$ dividi potest, omnium autem reliquorum non-residuum.

Theoremata haec elegantia iam sagaci Fermatio innotuerunt, Op. Mathem. p. 168. Demonstrationem vero quam se habere professus est, nusquam communicavit. Postea ab ill. Eulero frustra semper est investigata: at ill. La Grange primus demonstrationem rigorosam reperit, Nouv. Mém. de l'Ac. de Berlin 1775. p. 349, 351. Quod ill. Eulerum adhuc latuisse videtur, quando scripsit diss. in Opusc. Analyt. conservatam, T. I. p. 259.

Residua $+3$ et $-3$ .

117.

Pergimus ad residua $+3$ et $-3$ . A posteriori initium faciamus.

Reperiuntur ex tab. II numeri primi, quorum residuum est $-3$ , hi: 3, 7, 13, 19, 31, 37, 43, 61, 67, 73, 79, 97, inter quos nullus invenitur formae $6n+5$ . Quod vero etiam ultra tabulae limites nulli primi huius formae dantur, quorum residuum $-3$ , ita demonstramus: Primo patet, quemvis numerum compositum formae $6n+5$ necessario factorem primum aliquem eiusdem formae involvere. Quousque igitur nulli numeri primi formae $6n+5$ dantur, quorum residuum $-3$ , eousque tales etiam compositi non dabuntur. Quodsi vero ultra tabulae nostrae limites tales numeri darentur, sit omnium minimus $=t$ , ponaturque $-3=aa-tu$ . Tunc erit, si acceperis $a$ parem ipsoque $t$ minorem, $u<t$ atque $-3$ residuum ipsius $u$ . Sed quando $a$ formae $6n\pm 2$ , $tu$ erit formae $6n+1$ , adeoque $u$ formae $6n+5$ , Q. E. A. quia $t$ minimum esse numerum inductioni nostrae adversantem supposuimus. Quando vero $a$ formae $6n$ , erit $tu$ formae $36n+3$ adeoque ${\tfrac {1}{3}}tu$ formae $12n+1$ , quare ${\tfrac {1}{3}}u$ erit formae $6n+5$ ; patet autem, $-3$ etiam ipsius ${\tfrac {1}{3}}u$ residuum fore, atque esse ${\tfrac {1}{3}}u<t$ , Q. E. A. Manifestum itaque, $-3$ nullius numeri formae $6n+5$ residuum esse posse.

Quoniam quisque numerus formae $6n+5$ necessario vel sub forma $12n+5$ , vel sub hac $12n+11$ continetur, prior autem forma sub hac $4n+1$ , posterior sub hac $4n+3$ , haec habentur theoremata:

I. Cuiusvis numeri primi formae $12n+5$ , tum $-3$ tum $+3$ non-residuum est.

II. Cuiusvis numeri primi formae $12n+11$ , $-3$ est non-residuum, $+3$ vero residuum.

118.

Numeri quorum residuum est $+3$ , ex tabula II. inveniuntur hi: 3, 11, 13, 23, 37, 47, 59, 61, 71, 73, 83, 97, inter quos nulli sunt formae $12n+5$ vel $12n+7$ . Nullos autem omnino numeros formarum $12n+5$ , $12n+7$ dari, quorum $+3$ sit residuum, eodem prorsus modo, ut in artt. 112, 113, 117, comprobari potest, quare hoc negotio supersedemus. Habemus itaque collato art. 111 theoremata:

I. Numeri cuiusvis primi formae $12n+5$ non-residua sunt tum $+3$ tum $-3$ (uti iam in art. praec. invenimus).

II. Numeri cuiusvis primi formae $12n+7$ non-residuum est $+3$ , $-3$ vero residuum.

119.

Nihil autem per hanc methodum pro numeris formae $12n+1$ inveniri potest, qui proin artificia singularia requirunt. Ex inductione quidem facile colligitur, omnium numerorum primorum huius formae residua esse $+3$ et $-3$ . Manifesto autem demonstrari tantummodo debet, numerorum talium residuum esse $-3$ , quia tunc necessario etiam $+3$ residuum esse debet (art. 111). Ostendemus autem generalius, $-3$ esse residuum numeri cuiusvis primi formae $3n+1$ .

Sit $p$ huiusmodi primus atque $a$ numerus pro modulo $p$ ad exponentem $3$ pertinens (quales dari ex art. 54 manifestum, quia $3$ submultiplum ipsius $p-1$ ). Erit itaque $\textstyle a^{3}\equiv 1{\pmod {p}}$ i. e. $a^{3}-1$ sive $(a^{2}+a+1)(a-1)$ per $p$ divisibilis. Sed patet $a$ esse non posse $\textstyle \equiv 1{\pmod {p}}$ , quia $1$ ad exponentem $1$ pertinet, quare $a-1$ per $p$ divisibilis non erit, sed $a^{2}+a+1$ erit, hincque etiam $4aa+4a+4$ , i. e. erit $\textstyle (2a+1)^{2}\equiv -3{\pmod {p}}$ sive $-3$ residuum ipsius $p$ . Q. E. D.

Ceterum patet, hanc demonstrationem (quae a praecedentibus est independens) etiam numeros primos formae $12n+7$ complecti, quos iam in art. praec, absolvimus.

Observare adhuc convenit, hanc analysin ad instar methodi in artt. 109, 115 usitatae exhiberi posse, at brevitatis gratia huic rei non immoramur.

120.

Colliguntur facile ex praec. theoremata haec (vid. artt. 102, 103, 105):

I. $-3$ est residuum omnium numerorum, qui neque per $8$ , neque per $9$ , neque per ullum numerum primum formae $6n+5$ dividi possunt, non-residuum autem omnium reliquorum.

II. $+3$ est residuum omnium numerorum, qui neque per $4$ , neque per $9$ , neque per ullum primum formae $12n+5$ vel $12n+7$ dividi possunt, omnium reliquorum non-residuum.

Teneatur imprimis casus particularis hic:

$-3$ est residuum omnium numerorum primorum formae $3n+1$ , seu quod idem est omnium, qui ipsius $3$ sunt residua, non-residuum vero omnium numerorum primorum formae $6n+5$ , seu, excluso numero $2$ , omnium formae $3n+2$ , i. e. omnium, qui ipsius $3$ sunt non-residua. Facile vero perspicitur omnes reliquos casus ex hoc sponte sequi.

Propositiones ad residua $+3$ et $-3$ pertinentes iam Fermatio notae fuerunt, Opera Wallisii T. II. p. 857. At ill. Euler primus demonstrationes tradidit, Comm. nov. Petr. T. VIII. p. 105 sqq. Eo magis est mirandum, demonstrationes propositionum ad residua $+2$ et $-2$ pertinentium, prorsus similibus artificiis innixas, semper ipsius sagacitatem fugisse. Vid. etiam comment. ill. La Grange, Nouv. Mém. de l'Ac. de Berlin, 1775 p. 352.

Residua $+5$ et $-5$ .

121.

Per inductionem deprehenditur, $+5$ nullius numeri imparis formae $5n+2$ vel $5n+3$ residuum esse, i. e. nullius numeri imparis, qui ipsius $5$ non-residuum sit. Hanc vero regulam nullam exceptionem pati, ita demonstratur. Sit numerus minimus, si quis datur, ab hac regula excipiendus $=t$ , qui itaque numeri $5$ est non-residuum, $5$ autem ipsius $t$ residuum. Sit $aa=5+tu$ , ita ut $a$ sit par ipsoque $t$ minor. Erit igitur $u$ impar ipsoque $t$ minor, $+5$ autem ipsius $u$ residuum erit. Quodsi iam $a$ per $5$ non est divisibilis, etiam $u$ non erit; manifesto autem $tu$ ipsius $5$ est residuum, quare quum $t$ ipsius $5$ sit non-residuum, etiam $u$ non-residuum erit; i. e. datur non-residuum impar numeri $5$ , cuius residuum est $+5$ , ipso $t$ minus, contra hyp. Si vero $a$ per $5$ est divisibilis, ponatur $a=5b$ , atque $u=5v$ , unde $\textstyle tv\equiv$ $-1\equiv$ $\textstyle 4{\pmod {5}}$ , i. e. $tv$ erit residuum numeri $5$ . In reliquis demonstratio perinde procedit ut in casu priori.

122.

Omnium igitur numerorum primorum, qui simul sunt ipsius $5$ non-residua simulque formae $4n+1$ , i. e. omnium numerorum primorum formae $20n+3$ vel $20n+17$ , tum $+5$ quam $-5$ non-residua erunt; omnium autem numerorum primorum formae $20n+3$ vel $20n+7$ , non-residuum erit $+5$ , $-5$ residuum.

Potest vero prorsus simili modo demonstrari, $-5$ esse non-residuum omnium numerorum primorum formarum $20n+11$ , $20n+13$ , $20n+17$ , $20n+19$ , facileque perspicitur hinc sequi, $+5$ esse residuum omnium numerorum primorum formae $20n+11$ vel $20n+19$ , non-residuum autem omnium formae $20n+13$ vel $20n+17$ . Et quoniam quivis numerus primus, praeter $2$ et $5$ (quorum residuum $\pm 5$ ), in aliqua harum formarum continetur $20n+1$ , $3$ , $7$ , $9$ , $11$ , $13$ , $17$ , $19$ , patet, de omnibus iam iudicium ferri posse, exceptis iis, qui sint formae $20n+1$ vel formae $20n+9$ .

123.

Ex inductione facile deprehenditur, $+5$ et $-5$ esse residua omnium numerorum primorum formae $20n+1$ vel $20n+9$ . Quodsi hoc generaliter verum est, lex elegans habebitur, $+5$ esse residuum omnium numerorum primorum, qui ipsius $5$ sint residua, (hi enim in alterutra formarum $5n+1$ vel $5n+4$ sive in aliqua harum, $20n+1$ , $9$ , $11$ , $19$ , continentur, de quarum tertia et quarta illud iam ostensum est) non-residuum vero omnium numerorum imparium, qui ipsius $5$ sint non-residua, ut iam supra demonstravimus. Clarum autem est, hoc theorema sufficere, ad diiudicandum, utrum $+5$ (eoque ipso, $-5$ , si tamquam productum ex $+5$ et $-1$ consideretur) numeri cuiuscunque dati residuum sit an non-residuum. Denique observetur huius theorematis cum illo, quod art. 120 de residuo $-3$ exposuimus, analogia.

At verificatio illius inductionis non adeo facilis. Quando numerus primus formae $20n+1$ , sive generalius formae $5n+1$ proponitur, res simili modo absolvi potest, ut in artt. 114, 119. Sit scilicet numerus quicunque pro modulo $5n+1$ ad exponentem $5$ pertinens $a$ , quales dari ex Sect. praec. manifestum, eritque $a^{5}\equiv 1$ , sive $(a-1)(a^{4}+a^{3}+a^{2}+a+1)\equiv$ $\textstyle 0{\pmod {5n+1}}$ . At quia nequit esse $a\equiv 1$ , neque adeo $a-1\equiv 0$ ; necessario erit $a^{4}+a^{3}+a^{2}+a+1\equiv 0$ . Quare etiam $(a^{4}+a^{3}+a^{2}+a+1)=$ $(2aa+a+2)^{2}-5a^{2}\!$ erit $\equiv 0$ i. e. $5a^{2}\!$ erit residuum ipsius $5n+1$ , adeoque etiam $5$ , quia $a^{2}\!$ est residuum per $5n+1$ non divisibile ( $a$ enim per $5n+1$ non divisibilis propter $a^{5}\equiv 1$ ). Q. E. D.

At casus, ubi numerus primus formae $5n+4$ proponitur, subtiliora artificia postulat. Quoniam vero propositiones, quarum ope negotium absolvitur, in sequentibus generalius tractabuntur, hic breviter tantum eas attingimus.

I. Si $p$ est numerus primus atque $b$ non-residuum quadraticum datum ipsius $p$ , valor expressionis $(A)\ldots {\frac {(x+\surd {b})^{p+1}-(x-\surd {b})^{p+1}}{\surd {b}}}$ (ex qua evoluta irrationalitatem abire facile perspicitur), semper per $p$ divisibilis erit, quicunque numerus pro $x$ assumatur. Patet enim ex inspectione coëfficientium, qui ex evolutione ipsius $A$ obtinentur, omnes terminos a secundo usque ad penultimum (incl.) per $p$ divisibiles fore, adeoque esse $A\equiv$ $2(p+1)$ $\textstyle (x^{p}+xb^{\scriptstyle {\frac {p-1}{2}}}){\pmod {p}}$ . At quoniam $b$ ipsius $p$ non-residuum est, erit $b^{\scriptstyle {\frac {p-1}{2}}}\equiv$ $\textstyle -1{\pmod {p}}$ , (art. 106); $x^{p}\!$ autem semper est $\equiv x$ (Sect. praec.), unde fit $A\equiv 0$ . Q. E. D.

II. In congruentia $\textstyle A\equiv 0{\pmod {p}}$ , indeterminata $x$ habet $p$ dimensiones omnesque numeri $0$ , $1$ , $2$ $\ldots$ $p-1$ illius radices erunt. Iam ponatur $e$ esse divisorem ipsius $p+1$ eritque expressio ${\frac {(x+\surd {b})^{e}-(x-\surd {b})^{e}}{\surd {b}}}$ (quam per $B$ designamus) si evolvitur, ab irrationalitate libera, indeterminata $x$ in ipsa $e-1$ dimensiones habebit, constatque ex analyseos primis elementis, $A$ per $B$ (indefinite) esse divisibilem. Iam dico $e-1$ valores ipsius $x$ dari, quibus in $B$ substitutis, $B$ per $p$ divisibilis evadat. Ponatur enim $A\equiv BC$ , habebitque $x$ in $C$ dimensiones $p-e+1$ , adeoque congruentia $\textstyle C\equiv 0{\pmod {p}}$ non plures quam $p-e+1$ radices. Unde facile patet, omnes reliquos numeros ex his $0$ , $1$ , $2$ , $3$ $\ldots$ $p-1$ , quorum multitudo $=e-1$ , congruentiae $B\equiv 0$ radices fore.

III. Iam ponatur $p$ esse formae $5n+4$ , $e=5$ , $b$ non-residuum ipsius $p$ , atque numerum $a$ ita determinatum, ut sit ${\frac {(a+\surd {b})^{5}-(a-\surd {b})^{5}}{\surd {b}}}$ per $p$ divisibilis. At illa expressio fit $=10a^{4}+20aab+2bb=2((b+5aa)^{2}-20a^{4})$ Erit igitur etiam $(b+5aa)^{2}-20a^{4}\!$ per $p$ divisibilis i. e. $20a^{4}\!$ residuum ipsius $p$ , at quoniam $4a^{4}\!$ residuum est per $p$ non divisibile (facile enim intelligitur, $a$ per $p$ dividi non posse), etiam $5$ residuum ipsius $p$ erit. Q. E. D.

Hinc patet theorema in initio huius articuli prolatum generaliter verum esse. —

Observamus adhuc, demonstrationes pro utroque casu ill. La Grange deberi, Mém. de l'Ac. de Berlin 1775, p. 352 sqq.

De $\pm 7$ .

124.

Per similem methodum demonstratur,
$-7$ esse non-residuum cuiusvis numeri, qui ipsius $7$ sit non-residuum.

Ex inductione vero concludi potest,
$-7$ esse residuum cuiusvis numeri primi, qui ipsius $7$ sit residuum.

At hoc a nemine hactenus rigorose demonstratum. Pro iis quidem residuis ipsius $7$ , quae sunt formae $4n-1$ , facilis est demonstratio; etenim per methodum ex praecc. abunde notam ostendi potest, $+7$ semper esse talium numerorum primorum non-residuum, adeoque $-7$ residuum. Sed parum hinc lucramur: reliqui enim casus per hanc methodum tractari nequeunt. Unum quidem adhuc casum simili modo ut artt. 119, 123 absolvere possumus. Scilicet si $p$ est numerus primus formae $7n+1$ , atque $a$ pro modulo $p$ ad exponentem $7$ pertinens, facile perspicitur ${\tfrac {4(a^{7}-1)}{a-1}}=(2a^{3}+a^{2}-a-2)^{2}+7(a^{2}+a)^{2}$ per $p$ divisibilem, adeoque $-7(a^{2}+a)^{2}\!$ ipsius $p$ residuum fore. At $(a^{2}+a)^{2}\!$ , tamquam quadratum, ipsius $p$ residuum est, insuperque per $p$ non divisibile; quum enim $a$ ad exponentem $7$ pertinere supponatur, neque $\equiv 0$ , neque $\textstyle \equiv -1{\pmod {p}}$ esse potest, i. e. neque $a$ neque $a+1$ per $p$ divisibilis erit, adeoque etiam quadratum $(a+1)^{2}a^{2}\!$ . Unde manifesto etiam $7$ ipsius $p$ residuum erit. Q. E. D. — At primi numeri formae In $7n+2$ vel $7n+4$ omnes methodos hucusque traditas eludunt. Ceterum etiam haec demonstratio ab ill. La Grange primum est detecta l. c. — Infra Sect. VII. docebimus generaliter, expressionem ${\tfrac {4(x^{p}-1)}{x-1}}$ semper ad formam $X^{2}\mp pY^{2}$ reduci posse, (ubi signum superius est accipiendum, quando $p$ est numerus primus formae $4n+1$ , inferius, quando est formae $4n+3$ ), denotantibus $X$ , $Y$ functiones rationales ipsius $x$ , a fractionibus liberas. Hanc discerptionem ill. La Grange ultra casum $p=7$ non perfecit v. l. c. p. 352.

Praeparatio ad disquisitionem generalem.

125.

Quoniam igitur methodi praecedentes ad demonstrationes generales stabiliendas non sufficiunt, iam tempus est, aliam ab hoc defectu liberam exponere. Initium facimus a theoremate, cuius demonstratio satis diu operam nostram elusit, quamvis primo aspectu tam obvium videatur, ut quidam ne necessitatem quidem demonstrationis intellexerint. Est vero hoc: Quemvis numerum, praeter quadrata positive sumta, aliquorum numerorum primorum non-residuum esse. Quia vero hoc theoremate tantummodo tamquam auxiliari ad alia demonstranda usuri sumus, alios casus hic non explicamus quam quibus ad hunc finem indigemus. De reliquis casibus postea sponte idem constabit. Ostendemus itaque, quemvis numerum primum formae $4n+1$ , sive positive sive negative accipiatur^[6], non-residuum esse aliquorum numerorum primorum, et quidem (si $>5$ ) talium qui ipso sint minores.

Primo, quando numerus primus $p$ , formae $4n+1$ ( $>17$ , sed $-13N3$ , $-17N5$ ), negative sumendus proponitur, sit $2a$ numerus par proxime maior quam $\surd {p}$ , tum facilis perspicitur, $4aa$ semper fore $<2p$ sive $4aa-p<p$ . At $4aa-p$ est formae $4n+3$ , $+p$ autem residuum quadraticum ipsius $4aa-p$ (quoniam $\textstyle p\equiv 4aa{\pmod {4aa-p}}$ ); quodsi igitur $4aa-p$ est numerus primus, $-p$ ipsius non-residuum erit; sin minus, necessario factor aliquis ipsius $4aa-p$ formae $4n+3$ erit; et quum $+p$ etiam huius residuum esse debeat, $-p$ ipsius non-residuum erit. Q. E. D.

Pro numeris primis positive sumendis duos casus distinguimus. Primo sit $p$ numerus primus formae $8n+5$ . Sit $a$ numerus quicunque positivus $<\surd {\scriptstyle {\frac {1}{2}}}p$ . Tum $8n+5-2aa$ erit numerus positivus formae $8n+5$ vel $8n+3$ (prout $a$ par vel impar) adeoque necessario per numerum aliquem primum formae $8n+3$ vel $8n+5$ divisibilis, productum enim ex quotcunque numeris formae $8n+1$ et $8n+7$ neque formam $8n+3$ neque hanc $8n+5$ habere potest. Sit hic $q$ , eritque $\textstyle 8n+5\equiv 2a^{2}\!{\pmod {q}}$ . At $2$ ipsius $q$ non-residuum erit (art. 112), adeoque etiam $2a^{2}$ ^[7] et $8n+5$ . Q. E. D.

126.

Sed numerum quemvis primum formae $8n+1$ positive acceptum semper alicuius numeri primi ipso minoris non-residuum esse, per artificia tam obvia demonstrari nequit. Quum autem haec veritas maximi sit momenti, demonstrationem rigorosam, quamvis aliquantum prolixa sit, praeterire non possumus. Praemittimus sequens

Lemma. Si habentur duae series numerorum, $A,B,C,\mathrm {etc.} \ldots \mathrm {(I)}$ , $\quad A',B',C',\mathrm {etc.} \ldots \mathrm {(II)}$ (utrum terminorum multitudo in utraque eadem sit necne, nihil interest) ita comparatae, ut, denotante $p$ numerum quemcunque primum aut numeri primi potestatem, terminum aliquem secundae seriei (sive etiam plures) metientem, totidem ad minimum termini in serie prima sint per $p$ divisibiles, quot sunt in secunda: tum dico productum ex omnibus numeris $\mathrm {(I)}$ divisibile fore per productum ex omnibus numeris $\mathrm {(II)}$ .

Exempl. Constet $\mathrm {(I)}$ e numeris 12, 18, 45; $\mathrm {(II)}$ ex his 3, 4, 5, 6, 9. Tum divisibiles erunt per 2, 4, 3, 9, 5 in $\mathrm {(I)}$ 2, 1, 3, 2, 1 termini, in $\mathrm {(II)}$ 2, 1, 3, 1, 1 termini, respective; productum autem omnium terminorum $\mathrm {(I)}$ = 9720 divisibile est per productum omnium terminorum $\mathrm {(II)}$ , 3240.

Demonstr. Sit productum ex omnibus terminis $\mathrm {(I)}$ , $=Q$ , productum omnium terminorum seriei $\mathrm {(II)}$ , $=Q'\!$ . Patet quemvis numerum primum, qui sit divisor ipsius $Q'\!$ , etiam ipsius $Q$ divisorem fore. Iam ostendemus quemvis factorem primum ipsius $Q'\!$ , in $Q$ totidem ad minimum dimensiones habere, quot habeat in $Q'\!$ . Esto talis divisor $p$ , ponaturque, in serie $\mathrm {(I)}$ $a$ terminos esse per $p$ divisibiles, $b$ terminos per $p^{2}\!$ divisibiles, $c$ terminos per $p^{3}\!$ divisibiles etc., similia denotent literae $a'\!$ , $b'\!$ , $c'\!$ etc. pro serie $\mathrm {(II)}$ , perspicieturque facile, $p$ in $Q$ habere $a+b+c+$ etc. dimensiones, in $Q'\!$ vero $a'+b'+c'+$ etc. At $a'\!$ certe non maior quam $a$ , $b'\!$ non maior quam $b$ etc. (hyp.); quare $a'+b'+c'\!$ etc. certo non erit $>a+b+c$ etc. — Quum itaque nullus numerus primus in $Q'\!$ plures dimensiones habere possit, quam in $Q$ , $Q$ per $Q'\!$ divisibilis erit (art. 17). Q. E. D.

127.

Lemma. In progressione $1$ , $2$ , $3$ , $4$ , $\ldots$ $n$ , plures termini esse nequeunt per numerum quemcunque $h$ divisibiles, quam in hac $a$ , $a+1$ , $a+2$ $\ldots$ $a+n-1$ ex totidem terminis constante.

Nullo enim negotio perspicitur, si $n$ fuerit multiplum ipsius $h$ , in utraque progressione ${\tfrac {n}{h}}$ terminos fore per $h$ divisibiles; sin minus, ponatur $n=eh+f$ , ita ut $f$ sit $<h$ , eruntque in priori serie $e$ termini per $h$ divisibiles, in posteriori autem vel toti dem vel $e+1$ .

Hinc tamquam Coroll. sequitur propositio ex numerorum figuratorum theoria nota, sed a nomine, ni fallimur, hactenus directe demonstrata, $a\ .\ a+1\ .\ a+2\ldots a+n-1 \over 1\quad .\quad 2\quad .\quad 3\quad \ldots \quad n\quad$ semper esse numerum integrum.

Denique Lemma hoc generalius ita proponi potuisset:

In progressione $a$ , $a+1$ , $a+2$ , $\ldots$ $a+n-1$ totidem ad minimum dantur termini secundum modulum $h$ numero cuicunque dato, $r$ , congrui, quot in hac $1$ , $2$ , $3$ $\ldots$ $n$ termini per $h$ divisibiles.

128.

Theorema. Sit $a$ numerus quicunque formae $8n+1$ , $p$ numerus quicunque ad $a$ primus, cuius residuum $+a$ , tandem $m$ numerus arbitrarius: tum dico, in progressione $a,{\scriptstyle {\frac {1}{2}}}(a-1),2(a-4),{\scriptstyle {\frac {1}{2}}}(a-9),2(a-16),\ldots$ $2(a-m^{2}),$ vel ${\scriptstyle {\frac {1}{2}}}(a-m^{2})$ prout $m$ par vel impar, totidem ad minimum dari terminos per $p$ divisibiles, quot dentur in hac $1,2,3,\ldots 2m+1$ Priorem progressionem designamus per $\mathrm {(I)}$ , posteriorem per $\mathrm {(II)}$ .

Demonstr. I. Quando $p=2$ , in $\mathrm {(I)}$ omnes termini praeter primum, i. e. $m$ termini divisibiles erunt; totidem autem erunt in $\mathrm {(II)}$ .

II. Sit $p$ numerus impar vel numeri imparis duplum vel quadruplum, atque $\textstyle a\equiv rr{\pmod {p}}$ . Tum in progressione, $-m$ , $-(m-1)$ , $-(m-2)$ , $\ldots$ $+m$ (quae terminorum multitudine cum $\mathrm {(II)}$ convenit et per $\mathrm {(III)}$ designabitur) totidem ad minimum termini erunt secundum modulum $p$ ipsi $r$ congrui, quot in serie $\mathrm {(II)}$ per $p$ divisibiles (art. praec.). Inter illos autem bini, qui signo tantum, non magnitudine, discrepent, occurrere nequeunt^[8]. Tandem quisque eorum correspondentem habebit in serie $\mathrm {(I)}$ , qui per $p$ erit divisibilis. Scilicet si fuerit $\pm b$ aliquis terminus seriei $\mathrm {(III)}$ ipsi $r$ secundum $p$ congruus, erit $a-bb$ per $p$ divisibilis. Quodsi igitur $b$ est par, terminus seriei $\mathrm {(I)}$ , $2(a-bb)$ , per $p$ divisibilis erit. Si vero $b$ impar, terminus ${\scriptstyle {\frac {1}{2}}}(a-bb)$ per $p$ divisibilis erit: namque manifeste ${\tfrac {a-bb}{p}}$ erit integer par, quoniam $a-bb$ per $8$ , $p$ autem ad summum per $4$ divisibilis ( $a$ enim per hyp. est formae $8n+1$ , $bb$ autem ideo, quod est numeri imparis quadratum, eiusdem formae erit, quare differentia erit formae $8n$ ). Hinc tandem concluditur, in serie $\mathrm {(I)}$ totidem terminos esse per $p$ divisibiles, quot in $\mathrm {(III)}$ sint ipsi $r$ secundum $p$ congrui i. e. totidem aut plures quam in $\mathrm {(II)}$ sint per $p$ divisibiles. Q. E. D.

III. Sit $p$ formae $8n$ , atque $\textstyle a\equiv rr{\pmod {2p}}$ . Facile enim perspicitur, $a$ , quum ex hyp. ipsius $p$ sit residuum, etiam ipsius $2p$ residuum fore. Tum in serie $\mathrm {(III)}$ totidem ad minimum termini erunt ipsi $r$ secundum $p$ congrui, quot in $\mathrm {(II)}$ sunt per $p$ divisibiles, illique omnes magnitudine erunt inaequales. At cuique eorum respondebit aliquis in $\mathrm {(I)}$ per $p$ divisibilis. Si enim $+b$ vel $-b$ $\textstyle \equiv r{\pmod {p}}$ , erit $\textstyle bb\equiv rr{\pmod {2p}}$ ^[9], adeoque terminus ${\scriptstyle {\frac {1}{2}}}(a-bb)$ per $p$ divisibilis. Quare in $\mathrm {(I)}$ totidem ad minimum termini erunt per $p$ divisibiles quam in $\mathrm {(II)}$ . Q. E. D.

129.

Theorema. Si $a$ est numerus primus formae $8n+1$ , necessario infra $2\surd {a}+1$ dabitur aliquis numerus primus, cuius non-residuum sit $a$ .

Demonstr. Esto, si fieri potest, $a$ residuum omnium primorum ipso $2\surd {a}+1$ minorum. Tum facile perspicietur, $a$ etiam omnium numerorum compositorum ipso $2\surd {a}+1$ minorum residuum fore (conferantur praecepta per quae diiudicare docuimus, utrum numerus propositus sit numeri compositi residuum necne: art. 105). Sit numerus proxime minor quam $\surd {a}$ , $=m$ . Tum in serie $\mathrm {(I)} \ldots \ldots a,{\scriptstyle {\frac {1}{2}}}(a-1),2(a-4),{\scriptstyle {\frac {1}{2}}}(a-9)\ldots$ $2(a-mm)$ vel ${\scriptstyle {\frac {1}{2}}}(a-mm)$ totidem aut plures termini erunt per numerum quemcunque ipso $2\surd {a}+1$ minorem divisibiles, quam in hac $\mathrm {(II)} \ldots \ldots 1,2,3,4\ldots 2m+1$ (art. praec.) Hinc vero sequitur, productum ex omnibus terminis $\mathrm {(I)}$ per productum omnium terminorum $\mathrm {(II)}$ divisibile esse (art. 126). At illud est aut $=a(a-2)(a-4)\ldots (a-mm)$ aut semissis huius producti (prout $m$ aut par aut impar). Quare productum $a(a-1)(a-4)\ldots (a-mm)$ certo per productum omnium terminorum $\mathrm {(II)}$ dividi poterit, et, quia omnes hi termini ad $a$ sunt primi, etiam productum illud omisso factore $a$ . Sed productum ex omnibus terminis $\mathrm {(II)}$ ita etiam exhiberi potest $(m+1).((m+1)^{2}-1).((m+1)^{2}-4)\ldots ((m+1)^{2}-m^{2})$ Fiet igitur $\textstyle {\frac {1}{m+1}}.{\frac {a-1}{((m+1)^{2}-1)}}.{\frac {a-4}{((m+1)^{2}-4)}}\ldots .{\frac {a-m^{2}}{((m+1)^{2}-m^{2})}}$ numerus integer, quamquam sit productum ex fractionibus unitate minoribus: quia enim necessario $\surd {a}$ irrationalis esse debet, erit $m+1>\surd {a}$ , adeoque $(m+1)^{2}>a$ . Hinc tandem concluditur suppositionem nostram locum habere non posse. Q. E. D.

Iam quia $a$ certo $>9$ , erit $2\surd {a}+1<a$ , dabiturque adeo aliquis primus $<a$ , cuius non-residuum $a$ .

Per inductionem theorema generale (fundamentale) stabilitur, conclusionesque inde deducuntur.

130.

Postquam rigorose demonstravimus, quemvis numerum primum formae $4n+1$ , et positive et negative acceptum, alicuius numeri primi ipso minoris non-residuum esse, ad comparationem exactiorem et generaliorem numerorum primorum, quatenus unus alterius residuum vel non-residuum est, statim transimus.

Omni rigore supra demonstravimus, $-3$ et $+5$ esse residua vel non-residua omnium numerorum primorum, qui ipsorum $3$ , $5$ respective sint residua vel non-residua.

Per inductionem autem circa numeros sequentes institutam invenitur: $-7$ , $-11$ , $+13$ , $+17$ , $-19$ , $-23$ , $+29$ , $-31$ , $+37$ , $+41$ , $-43$ , $-47$ , $+53$ , $-59$ etc. esse residua vel non-residua omnium numerorum primorum, qui, positive sumti, illorum primorum respective sint residua vel non-residua. Inductio haec perfacile adiumento tabulae II confici potest.

Quivis autem levi attentione adhibita observabit, ex his numeris primis signo positivo affectos esse eos, qui sint formae $4n+1$ , negativo autem eos, qui sint formae $4n+3$ .

131.

Quod hic per inductionem deteximus, generaliter locum habere mox demonstrabimus. Antequam autem hoc negotium adeamus, necesse erit, omnia quae ex theoremate, si verum esse supponitur, sequuntur, eruere. Theorema ipsum ita enunciamus.

Si $p$ est numerus primus formae $4n+1$ , erit $+p$ , si vero $p$ formae $4n+3$ , erit $-p$ residuum vel non-residuum cuiusvis numeri primi, qui positive acceptus ipsius $p$ est residuum vel non-residuum.

Quia omnia fere, quae de residuis quadraticis dici possunt, huic theoremati innituntur, denominatio theorematis fundamentalis, qua in sequentibus utemur, haud absona erit.

Ut ratiocinia nostra quam brevissime exhiberi possint, per $a$ , $a'\!$ , $a''\!$ etc. numeros primos formae $4n+1$ , per $b$ , $b'\!$ , $b''\!$ etc. numeros primos formae $4n+3$ denotabimus; per $A$ , $A'\!$ , $A''\!$ etc. numeros quoscunque formae $4n+1$ , per $B$ , $B'\!$ , $B''\!$ etc. autem numeros quoscunque formae $4n+3$ ; tandem litera $R$ duabus quantitatibus interposita indicabit, priorem sequentis esse residuum, sicuti litera $N$ significationem contrariam habebit. Ex. gr. $+5R11$ , $\pm 2N5$ , indicabit $+5$ ipsius $11$ esse residuum, $+2$ vel $-2$ esse ipsius $5$ non-residuum. Iam collato theoremate fundamentali cum theorematibus art. 111, sequentes propositiones facile deducentur.

	Si		erit
1.	$\quad \pm aRa'$	$\ldots \ldots$	$\quad \pm a'\!Ra$
2.	$\quad \pm aNa'$	$\ldots \ldots$	$\quad \pm a'\!Na$
3.	$\left\{{\begin{matrix}+aRb\\-aNb\end{matrix}}\right\}$	$\ldots \ldots$	$\quad \pm bRa$
4.	$\left\{{\begin{matrix}+aNb\\-aRb\end{matrix}}\right\}$	$\ldots \ldots$	$\quad \pm bNa$
5.	$\quad \pm bRa$	$\ldots \ldots$	$\left\{{\begin{matrix}+aRb\\-aNb\end{matrix}}\right.$
6.	$\quad \pm bNa$	$\ldots \ldots$	$\left\{{\begin{matrix}+aNb\\-aRb\end{matrix}}\right.$
7.	$\left\{{\begin{matrix}+bRb'\\-bNb'\end{matrix}}\right\}$	$\ldots \ldots$	$\left\{{\begin{matrix}+b'\!Nb\\-b'\!Rb\end{matrix}}\right.$
8.	$\left\{{\begin{matrix}+bNb'\\-bRb'\end{matrix}}\right\}$	$\ldots \ldots$	$\left\{{\begin{matrix}+b'\!Rb\\-b'\!Nb\end{matrix}}\right.$

132.

In his omnes casus, qui, duos numeros primos comparando, occurrere possunt, continentur: quae sequuntur, ad numeros quoscunque pertinent: sed harum demonstrationes minus sunt obviae.

	Si		erit
9.	$\quad \pm aRA$	$\ldots \ldots$	$\quad \pm ARa$
10.	$\quad \pm bRA$	$\ldots \ldots$	$\left\{{\begin{matrix}+ARb\\-ANb\end{matrix}}\right.$
11.	$\quad +aRB$	$\ldots \ldots$	$\quad \pm BRa$
12.	$\quad -aRB$	$\ldots \ldots$	$\quad \pm BNa$
13.	$\quad +bRB$	$\ldots \ldots$	$\left\{{\begin{matrix}-BRb\\+BNb\end{matrix}}\right.$
14.	$\quad -bRB$	$\ldots \ldots$	$\left\{{\begin{matrix}+BRb\\-BNb\end{matrix}}\right.$

Quum omnium harum propositionum demonstrationes ex iisdem principiis

sint petendae, necesse non erit omnes evolvere: demonstratio prop. 9, quam apponimus tamquam exemplum inservire potest. Ante omnia autem observetur, quemvis numerum formae $4n+1$ aut nullum factorem formae $4n+3$ habere, aut duos, aut quatuor etc., i. e. multitudinem talium factorum (inter quos etiam aequales esse possunt) semper fore parem: quemvis vero formae $4n+3$ multitudinem imparem factorum formae $4n+3$ (i. e. aut unum aut tres aut quinque etc.) implicare. Multitudo factorum formae $4n+1$ indeterminata manet.

Prop. 9 ita demonstratur. Sit $A$ productum e factoribus primis $a'\!$ , $a''\!$ , $a'''\!$ etc., $b$ , $b'\!$ , $b''\!$ etc.; eritque factorum $b$ , $b'\!$ , $b''\!$ etc. multitudo par (possunt etiam nulli adesse, quod eodem redit). Iam si $a$ est residuum ipsius $A$ , erit residuum etiam omnium factorum $a'\!$ , $a''\!$ , $a'''\!$ etc. $b$ , $b'\!$ , $b''\!$ etc., quare per propp. 1, 3 art. praec. singuli hi factores erunt residua ipsius $a$ , adeoque etiam productum $A$ . $-A$ vero idem esse debet. — Quodsi vero $-a$ est residuum ipsius $A$ , eoque ipso omnium factorum $a'\!$ , $a''\!$ , etc. $b$ , $b'\!$ etc. ; singuli $a'\!$ , $a''\!$ etc. erunt ipsius $a$ residua, singuli $b$ , $b'\!$ etc. autem non-residua. Sed quum posteriorum multitudo sit par, productum ex omnibus, i. e. $A$ , ipsius $a$ residuum erit, hincque etiam $-A$ ,

133.

Investigationem adhuc generalius instituamus. Contemplemur duos numeros quoscunque impares inter se primos, signis quibuscunque affectos, $P$ et $Q$ . Concipiatur $P$ sine respectu signi sui in factores suos primos resolutus, designeturque per $p$ , quot inter hos reperiantur, quorum non-residuum sit $Q$ . Si vero aliquis numerus primus, cuius non-residuum est $Q$ , pluries inter factores ipsius $P$ occurrit, pluries etiam numerandus erit. Similiter sit $q$ multitudo factorum primorum ipsius $Q$ , quorum non-residuum est $P$ . Tum numeri $p$ , $q$ certam relationem mutuam habebunt ab indole numerorum $P$ , $Q$ pendentem. Scilicet si alter numerorum $p$ , $q$ est par vel impar, numerorum $P$ , $Q$ forma docebit, utrum alter par sit vel impar. Haec relatio in sequenti tabula exhibetur.

Erunt $p$ , $q$ simul pares vel simul impares, quando numeri $P$ , $Q$ habent formas:

1.	$+A$ ,	$+A'$
2.	$+A$ ,	$-A'$
3.	$+A$ ,	$+B$
4.	$+A$ ,	$-B$
5.	$-A$ ,	$-A'$
6.	$+B$ ,	$-B'$

Contra numerorum $p$ , $q$ alter erit par, alter impar, quando numeri $P$ , $Q$ habent formas:

7.	$-A$ ,	$+B$
8.	$-A$ ,	$-B$
9.	$+B$ ,	$+B'$
10.	$-B$ ,	$-B'$ ^[10]

Ex. Sint numeri propositi -55 et +1197, qui ad casum quartum erunt referendi. Est autem 1197 non-residuum unius factoris primi ipsius 55, scilicet numeri 5, -55 autem non-residuum trium factorum primorum ipsius 1197, scilicet numerorum 3, 3, 19.

Si $P$ et $Q$ numeros primos designant, propositiones hae abeunt in eas quas art. 131 tradidimus. Hic scilicet $p$ et $q$ maiores quam $1$ fieri nequeunt, quare quando $p$ ponitur esse par, necessario erit $=0$ i. e. $Q$ erit residuum ipsius $P$ , quando vero $p$ est impar, $Q$ ipsius $P$ non-residuum erit. Et vice versa. Ita scriptis $a$ , $b$ loco ipsorum $A$ , $B$ , ex 8 sequitur, si $-a$ fuerit residuum vel non-residuum ipsius $b$ , fore $-b$ non-residuum vel residuum ipsius $a$ , quod cum 3 et 4 art. 131 convenit.

Generaliter vero patet, $Q$ residuum ipsius $P$ esse non posse nisi fuerit $p=0$ ; si igitur $p$ impar, $Q$ certo ipsius $P$ non-residuum erit.

Hinc etiam propp. art. praec. sine difficultate derivari possunt.

Ceterum mox patebit, hanc repraesentationem generalem plus esse quam speculationem sterilem, quum theorematis fundamentalis demonstratio completa absque ea vix perfici possit.

134.

Aggrediamur nunc deductionem harum propositionum.

I. Concipiatur, ut ante, $P$ in factores suos primos resolutus, signis neglectis, insuperque etiam $Q$ in factores quomodocunque resolvatur, ita tamen ut signi ipsius $Q$ ratio habeatur. Combinentur illi singuli cum singulis his. Tum si $s$ designat multitudinem omnium combinationum, in quibus factor ipsius $Q$ est non-residuum factoris ipsius $P$ , $p$ et $s$ vel simul pares vel simul impares erunt. Sint enim factores primi ipsius $P$ , hi $f$ , $f'\!$ , $f''\!$ etc. et inter factores in quibus $Q$ est resolutus, sint $m$ qui ipsius $f$ sint non-residua, $m'\!$ non-residua ipsius $f'\!$ , $m''\!$ non-residua ipsius $f''\!$ etc. Tum facile quisquis perspiciet, fore $s=m+m'+m''+$ etc. $p$ autem exprimere, quot numeri inter ipsos $m$ , $m'\!$ , $m''\!$ etc. sint impares. Unde sponte patet, $s$ fore parem quando $p$ sit par, imparem quando $p$ sit impar.

II. Haec generaliter valent, quomodocunque $Q$ in factores sit resolutus. Descendamus ad casus particulares. Contemplemur primo casus, ubi alter numerorum, $P$ , est positivus, alter vero, $Q$ , vel formae $+A$ vel formae $-B$ . Resolvantur $P$ , $Q$ in factores suos primos, attribuatur singulis factoribus ipsius $P$ Signum positivum, singulis autem factoribus ipsius $Q$ signum positivum vel negativum, prout sunt formae $a$ vel $b$ ; tunc autem manifeste $Q$ fiet vel formae $+A$ vel $-B$ , uti requiritur. Combinentur factores singuli ipsius $P$ cum singulis factoribus ipsius $Q$ , designetque ut ante $s$ multitudinem combinationum, in quibus factor ipsius $Q$ est non-residuum factoris ipsius $P$ , similiterque $t$ multitudinem combinationum, in quibus factor ipsius $P$ est non-residuum factoris ipsius $Q$ . At ex theoremate fundamentali sequitur, illas combinationes identicas fore cum his adeoque $s=t$ . Tandem ex iis quae modo demonstravimus, sequitur esse $\textstyle p\equiv s{\pmod {2}}$ , $\textstyle q\equiv t{\pmod {2}}$ , unde fit $\textstyle p\equiv q{\pmod {2}}$ .

Habentur itaque propp. 1, 3, 4 et 6 art. 133.

Propositiones reliquae per methodum similem directe erui possunt, sed una consideratione nova indigent; facilius autem ex praecedentibus sequenti modo derivantur.

III. Denotent rursus $P$ , $Q$ . numeros quoscunque impares inter se primos, $p$ , $q$ multitudinem factorum primorum ipsorum $P$ , $Q$ , quorum non-residua $Q$ , $P$ respective. Tandem sit $p'$ multitudo factorum primorum ipsius $P$ , quorum non-residuum est $-Q$ (quando $Q$ per se est negativus, manifesto $-Q$ numerum positivum indicabit). Iam omnes factores primi ipsius $P$ in quatuor classes distribuantur.

1) in factores formae

a

, quorum residuum est

Q

.

2) factores formae

b

, quorum residuum

Q

. Horum multitudo sit

\chi

.

3) factores formae

a

, quorum non-residuum est

Q

. Herum multitudo sit

\psi

.

4) factores formae

b

, quorum non-residuum

Q

. Quorum multitudo

=\omega

.

Tum facile perspicitur fore $p=\psi +\omega$ , $p'=\chi +\psi$ .

Iam quando $P$ est formae $\pm A$ , erit $\chi +\omega$ adeoque etiam $\chi -\omega$ numerus par: quare fiet $p'=p+\chi -\omega \equiv$ $\textstyle p{\pmod {2}}$ ; quando vero $P$ est formae $\pm B$ , per simile ratiocinium invenitur, numeros $p$ , $p'\!$ sec. $\mathrm {mod.} 2$ incongruos fore.

IV. Applicemus haec ad casus singulos. Sit primo tum $P$ tum $Q$ formae $+A$ , eritque ex prop. 1. $\textstyle p\equiv q{\pmod {2}}$ ; aterit $\textstyle p'\equiv p{\pmod {2}}$ ; quare etiam $\textstyle p'\equiv q{\pmod {2}}$ . Quod convenit cum prop. 2. — Simili modo si $P$ est formae $-A$ , $Q$ formae $+A$ , erit $\textstyle p\equiv q{\pmod {2}}$ ex prop. 2 quam modo demonstravimus; hinc, ob $p'\equiv p$ , erit $p'\equiv q$ . Est itaque etiam prop. 5 demonstrata.

Eodem modo prop. 7 ex 3; prop. 8 vel ex 4 vel ex 7; prop. 9 ex 6; ex eademque prop. 10 derivantur.

Demonstratio rigorosa theorematis fundamentalis.

135.

Per art. praec. propositiones art. 133 non quidem sunt demonstratae, sed tamen earum veritas a veritate theorematis fundamentalis quam aliquantisper supposuimus pendere ostensa est. At ex ipsa deductionis methodo manifestum est, illas valere pro numeris $P$ , $Q$ , si modo theorema fundamentale pro omnibus factoribus primis horum numerorum inter se comparatis locum habeat, etiamsi generaliter verum non sit. Nunc igitur ipsius theorematis fundamentalis demonstrationem aggrediamur. Cui praemittimus sequentem explicationem.

Theorema fundamentale usque ad numerum aliquem $M$ verum esse dicemus, si valet pro duobus numeris primis quibuscunque, quorum neuter ipsum $M$ superat.

Simili modo intelligi debet, si theoremata artt. 131, 132, 133 usque ad aliquem terminum vera esse dicemus. Facile vero perspicitur, si de veritate theorematis fundamentalis usque ad aliquem terminum constet, has propositiones usque ad eundem terminum locum esse habituras.

136.

Theorema fundamentale pro numeris parvis verum esse, per inductionem facile confirmari, atque sic limes determinari potest usque ad quem certo locum teneat. Hanc inductionem institutam esse postulamus: prorsus autem indifferens est quousque eam persequuti simus; sufficeret adeo, si tantummodo usque ad numerum $5$ eam confirmavissemus, hoc autem per unicam observationem absolvitur, quod est $+5N3$ , $\pm 3N5$ .

Iam si theorema fundamentale generaliter verum non est, dabitur limes aliquis, $T$ , usque ad quem valebit, ita tamen ut usque ad numerum proxime maiorem, $T+1$ , non amplius valeat. Hoc autem idem est ac si dicamus, dari duos numeros primos, quorum maior sit $T+1$ , et qui inter se comparati theoremati fundamentali repugnent, binos autem alios numeros primos quoscunque, si modo ambo ipso $T+1$ sint minores, huic theoremati esse consentaneos. Unde sequitur, propositiones artt. 131, 132, 133 usque ad $T$ etiam locum habituras. Hanc vero suppositionem consistere non posse nunc ostendemus. Erunt autem secundum formas diversas, quas tum $T+1$ , tum numerus primus ipso $T+1$ minor, quem cum $T+1$ comparatum theoremati repugnare supposuimus, habere possunt, casus sequentes distinguendi. Numerum istum primum per $p$ designamus.

Quando tum $T+1$ tum $p$ sunt formae $4n+1$ , theorema fundamentale duobus modis falsum esse posset, scilicet si simul esset, vel $\pm pR(T+1)\,$ et $\pm (T+1)Np$ vel simul $\pm pN(T+1)$ et $\pm (T+1)Rp$

Quando tum $T+1$ tum $p$ sunt formae $4n+3$ , theor. fund. falsum erit, si simul fuerit vel $+pR(T+1)$ et $-(T+1)Np\$ (sive quod eodem redit $-pN(T+1)$ et $+(T+1)Rp$ ) vel $+pN(T+1)$ et $-(T+1)Rp\$ (sive $-pR(T+1)$ et $+(T+1)Np$ )

Quando $T+1$ est formae $4n+1$ , $p$ vero formae $4n+3$ , theor. fund. falsum erit, si fuerit vel $\pm pR(T+1)$ et $+(T+1)Np$ (sive $-(T+1)Rp$ ) vel $\pm pN(T+1)$ et $-(T+1)Np$ (sive $+(T+1)Rp$ )

Quando $T+1$ est formae $4n+3$ , p vero formae $4n+1$ , theor. fund. falsum erit, si fuerit vel $+p{R}(T+1)$ (sive $-p{N}(T+1)$ ) et $\pm (T+1){N}p$ vel $+p{N}(T+1)$ (sive $-p{R}(T+1)$ ) et $\pm (T+1){R}p$

Si demonstrari poterit, nullum horum octo casuum locum habere posse, simul certum erit, theorematis fundamentalis veritatem nullis limitibus circumscriptam esse. Hoc itaque negotium nunc aggredimur: at quoniam alii horum casuum ab aliis sunt dependentes, eundem ordinem, quo eos hic enumeravimus, servare non licebit.

137.

Casus primus. Quando $T+1$ est formae $4n+1$ ( $=a$ ), atque $p$ eiusdem formae; insuper vero $\pm p{R}a$ , non potest esse $\pm a{N}p$ . Hic casus supra fuit primus.

Sit $\textstyle +p\equiv e^{2}{\pmod {a}}$ , atque $e$ par et $<a$ (quod semper obtineri potest). Iam duo casus sunt distinguendi.

I. Quando $e$ per $p$ non est divisibilis. Ponatur $e^{2}=p+af$ eritque $f$ positivus, formae $4n+3$ (sive formae $B$ ), $<a$ , et per $p$ non divisibilis. Porro erit $\textstyle e^{2}\equiv p{\pmod {f}}$ , i. e. $p{R}f$ adeoque ex prop. 11 art. 132 $\pm f{R}p$ (quia enim $p$ , $f<a$ , pro his propositiones istae valebunt). At est etiam $af{R}p$ , quare fiet quoque $\pm a{R}p$ .

II. Quando $e$ per $p$ est divisibilis, ponatur $e=gp$ , atque $e^{2}=p+aph$ , sive $pg^{2}=1+ah$ . Tum erit $h$ formae $4n+3$ ( $B$ ), atque ad $p$ et $g^{2}\!$ primus. Porro erit $pg^{2}{R}h$ , adeoque etiam $p{R}h$ , hinc (prop. 11 art. 132) $\pm h{R}p$ . At est etiam $-ah{R}p$ , quia $\textstyle -ah\equiv 1{\pmod {p}}$ ; quare fiet etiam $\mp a{R}p$ .

138.

Casus secundus. Quando $T+1$ est formae $4n+1$ ( $=a$ ), $p$ formae $4n+3$ , atque $\pm p{R}(T+1)$ , non potest esse $+(T+1){N}p$ sive $-(T+1){R}p$ . Hic casus supra fuit quintus.

Sit ut supra $e^{2}=p+fa$ atque $e$ par et $<a$ .

I. Quando $e$ per $p$ non est divisibilis, erit etiam $f$ per $p$ non divisibilis. Praeterea autem erit $f$ positivus, formae $4n+1$ (sive $A$ ), atque $<a$ ; $+p{R}f$ , adeoque (prop. 10 art. 132) $+f{R}p$ . Sed est etiam $+fa{R}p$ , quare fiet $+a{R}p$ , sive $-a{N}p$ .

II. Quando $e$ per $p$ est divisibilis, sit $e=pg$ , atque $f=ph$ . Erit itaque $g^{2}p=1+ha$ . Tum $h$ erit positivus, formae $4n+3$ ( $B$ ), et ad $p$ et $g^{2}\!$ primus. Porro $+g^{2}p{R}h$ , adeoque $+p{R}h$ ; hinc fit (prop. 13 art. 132) $-h{R}p$ . At est $-ha{R}p$ , unde fit $+a{R}p$ atque $-a{N}p$ .

139.

Casus tertius. Quando $T+1$ est formae $4n+1$ ( $=a$ ), $p$ eiusdem formae, atque $\pm p{N}a$ : non potest esse $\pm a{R}p$ . (Supra casus secundus).

Capiatur aliquis numerus primus ipso $a$ minor, cuius non-residuum sit $+a$ , quales dari supra demonstravimus (artt. 125, 129). Sed hic duos casus seorsim considerare oportet, prout hic numerus primus fuerit formae $4n+1$ vel $4n+3$ , non enim demonstratum fuit, dari tales numeros primos utriusque formae.

I. Sit iste numerus primus formae $4n+1$ et $=a'\!$ . Tum erit $\pm a'{N}a$ (art. 131) adeoque $\pm a'p{R}a$ . Sit igitur $\textstyle e^{2}\equiv a'p{\pmod {a}}$ atque $e$ par, $<a$ . Tunc iterum quatuor casus erunt distinguendi.

1) Quando $e$ neque per $p$ neque per $a'\!$ est divisibilis. Ponatur $e^{2}=a'p\pm af$ , signis ita acceptis ut $f$ fiat positivus. Tum erit $f<a$ , ad $a'\!$ et $p$ primus atque pro signo superiori formae $4n+3$ , pro inferiori formae $4n+1$ . Designemus brevitatis gratia per $[x,y]$ multitudinem factorum primorum numeri $y$ quorum non-residuum est $x$ . Tum erit $a'p{R}f$ adeoque $[a'p,f]=0$ . Hinc erit $[f,a'p]$ numerus par (propp. 1, 3, art. 133), i. e. aut $=0$ aut $=2$ . Quare erit $f$ aut residuum utriusque numerorum $a'\!,$ $p$ , aut neutrius. Illud autem est impossibile, quum $+af$ sit residuum ipsius $a'\!,$ atque $\pm a{N}a'\!$ (hyp.); unde fit $\pm f{N}a'\!$ . Hinc $f$ debet esse utriusque numerorum $a'\!,$ $p$ non-residuum. At propter $\pm af{R}p$ erit $\pm a{N}p$ . Q. E. D.

2) Quando $e$ per $p$ , neque vero per $a'\!$ est divisibilis, sit $e=gp$ , atque $g^{2}p=a'\pm ah$ , signo ita determinato, ut $h$ fiat positivus. Tum erit $h<a$ , ad $a'\!$ , $g$ et $p$ primus, atque pro signo superiori formae $4n+3$ , pro inferiori vero formae $4n+1$ . Ex aequatione $g^{2}p=a'\pm ah$ , si per $p$ et $a'\!$ multiplicatur, nullo negotio deduci potest, $pa'{R}h$ $\ldots$ $(\alpha )$ ; $\pm ahp{R}a'\!$ $\ldots$ $(\beta )$ ; $aa'h{R}p$ $\ldots$ $(\gamma )$ . Ex $(\alpha )$ sequitur $[pa',h]=0$ . adeoque (propp. 1, 3, art. 133) $[h,pa']$ par, i. e. erit $h$ non-residuum vel utriusque $p$ , $a'\!$ , vel neutrius. Priori in casu ex $(\beta )$ sequitur $\pm ap{N}d$ , et quum per hyp. sit $\pm a{N}a'\!$ , erit $\pm p{R}a'\!$ . Hinc per theor. fundam., quod pro numeris $p$ , $a'\!$ ipso $T+1$ minoribus valet, $\pm a'{R}p$ . Hinc et ex eo quod $h{N}p$ , fit per $(\gamma )$ $\pm a{N}p$ . Q. E. D. Posteriori casu ex $(\beta )$ sequitur $\pm ap{R}a'\!$ , hinc $\pm p{N}a'\!$ , $\pm a'{N}p$ , hincque tandem et ex $h{R}p$ fit ex $(\gamma )$ $\pm a{N}p$ . Q. E. D.

3) Quando $e$ per $a'\!$ non autem per $p$ est divisibilis. Pro hoc casu demonstratio tantum non eodem modo procedit ut in praec., neminemque qui hanc penetravit poterit morari.

4) Quando $e$ tum per $a'\!$ tum per $p$ est divisibilis adeoque etiam per productum $a'p$ (numeros $a'\!$ , $p$ enim inaequales esse supponimus, quia alias id quod demonstrare operam damus, esse $a{N}p$ iam in hypothesi $a{N}a'\!$ contentum foret), sit $e=ga'p$ atque $g^{2}a'p=1\pm ah$ . Tum erit $h<a$ , ad $a'\!$ et $p$ primus atque pro signo superiori formae $4n+3$ , pro inferiori formae $4n+1$ . Facile vero perspicitur, ex ista aequatione deduci posse haec $a'p{R}h$ $\ldots$ $(\alpha )$ ; $\pm ah{R}a'$ $\ldots$ $(\beta )$ ; $\pm ah{R}p$ $\ldots$ $(\gamma )$ . Ex $(\alpha )$ quod convenit cum $(\alpha )$ in (2) sequitur perinde ut illic, esse vel simul $h{R}p$ , $h{R}a'\!$ , vel $h{N}p$ , $h{N}a'\!$ . Sed in casu priori foret per $(\beta )$ , $a{R}a'\!$ , contra hyp.; quare erit $h{N}p$ , adeoque per $(\gamma )$ etiam $a{N}p$ .

II. Quando iste numerus primus est formae $4n+3$ , demonstratio praecedenti tam similis est, ut eam apponere superfluum nobis visum sit. In eorum gratiam qui per se eam evolvere gestiunt (quod maxime commendamus), id tantum observamus, postquam ad talem aequationem $e^{2}=bp\pm af$ (designante $b$ illum numerum primum) perventum fuerit, ad perspicuitatem profuturum, si utrumque signum seorsim consideretur.

140.

Casus quartus. Quando $T+1$ est formae $4n+1$ ( $=a$ ), $p$ formae $4n+3$ , atque $\pm p{N}a$ , non poterit esse $+a{R}p$ sive $-a{N}p$ . (Casus sextus supra).

Etiam huius casus demonstrationem, quum prorsus similis sit demonstrationi casus tertii, brevitatis gratia omittimus.

141.

Casus quintus. Quando $T+1$ est formae $4n+3$ ( $=b$ ), $p$ eiusdem formae, atque $+pRh$ sive $-pNb$ , nequit esse $+bRp$ sive $-bNp$ . (Casus tertius supra).

Sit $\textstyle p=e^{2}{\pmod {b}}$ , atque $e$ par et $<b$ .

I. Quando $e$ per $p$ non est divisibilis. Ponatur $e^{2}=p+bf$ , eritque $f$ positivus, formae $4n+3$ , $<b$ atque ad $p$ primus. Porro erit $pRf$ adeoque per prop. 13 art. 132, $-fRP$ . Hinc et ex $+bfRp$ fit $-bRp$ adeoque $+bNp$ . Q. E. D.

II. Quando $e$ per $p$ est divisibilis, sit $e=pg$ atque $ggp=1+bh$ . Tum erit $h$ formae $4n+1$ atque ad $p$ primus, $\textstyle p\equiv g^{2}p^{2}{\pmod {h}}$ , adeoque $pRh$ ; hinc fit $+hRp$ (prop. 10 art. 132), unde et ex $-bhRp$ sequitur $-bRp$ , sive $+bNp$ . Q. E. D.

142.

Casus sextus. Quando $T+1$ est formae $4n+3$ ( $=b$ ), $p$ formae $4n+1$ , atque $pRb$ , non poterit esse $\pm bNp$ . (Supra casus septimus).

Demonstrationem praecedenti omnino similem omittimus.

143.

Casus septimus. Quando $T+1$ est formae $4n+3$ ( $=b$ ), $p$ eiusdem formae, atque $+pNb$ sive $-pRb$ , non poterit esse $+bNp$ sive $-bRp$ . (Casus quartus supra).

Sit $\textstyle -p\equiv e^{2}{\pmod {b}}$ , atque $e$ par et $<b$ .

I. Quando $e$ per $p$ non divisibilis. Sit $-p=e^{2}-bf$ eritque $f$ positivus, formae $4n+1$ , ad $p$ primus ipsoque $b$ minor (etenim $e$ certo non maior quam $b-1$ , $p<b-1$ , quare erit $bf=e^{2}+p<b^{2}-b$ , i. e. $f<b-1$ ). Porro erit $-pRf$ hinc (prop. 10 art. 132) $+fRp$ , unde et ex $+bfRp$ fit $+bRp$ , sive $-bNp$ .

II. Quando $e$ per $p$ est divisibilis, sit $e=pg$ , atque $g^{2}p=-1+bh$ . Tum erit $h$ positivus, formae $4n+3$ , ad $p$ primus et $<b$ . Porro erit $-pRh$ , unde fit (prop. 14 art. 132) $+hRp$ . Hinc et ex $bhRp$ sequitur $+bRp$ sive $-bNp$ . Q. E. D.

144.

Casus octavus. Quando $T+1$ est formae $4n+3$ ( $=b$ ), $p$ formae $4n+1$ , atque $+pNb$ sive $-pRb$ , non poterit esse $\pm bRp$ . (Casus ultimus supra).

Demonstratio perinde procedit ut in casu praecedenti.

Methodus analoga, theorema art. 114 demonstrandi.

145.

In demonstratt. praecc. semper pro e valorem parem accepimus (artt. 137, 144); observare convenit, etiam valorem imparem adhiberi potuisse, sed tum plures adhuc distinctiones introducendae fuissent. Qui his disquisitionibus delectantur, haud inutile facient, si vires suas in evolutione horum casuum exercitent. Praeterea theoremata ad residua $+2$ et $-2$ pertinentia tunc supponi debuissent; quum vero nostra demonstratio absque his theorematibus sit perfecta, novam hinc methodum nanciscimur, illa demonstrandi. Quae minime est contemnenda, quum methodi, quibus supra pro demonstratione theorematis, $\pm 2$ esse residuum cuiusvis numeri primi formae $8n+1$ , usi sumus, minus directae videri possint. Reliquos casus (qui ad numeros primos formarum $8n+3$ , $8n+5$ , $8n+7$ spectant) per methodos supra traditas demonstratos, illudque theorema tantummodo per inductionem inventum esse supponemus; hanc autem inductionem per sequentes reflexiones ad certitudinis gradum evehemus.

Si $\pm 2$ omnium numerorum primorum formae $8n+1$ residuum non esset, ponatur minimus primus huius formae, cuius non-residuum $\pm 2$ , $=a$ , ita ut pro omnibus primis ipso $a$ minoribus theorema valeat. Tum accipiatur numerus aliquis primus $<{\scriptstyle {\frac {1}{2}}}a$ , cuius non-residuum $a$ (qualem dari ex art. 129 facile deducitur). Sit hic $=p$ eritque per theor. fund. $pNa$ . Hinc fit $\pm 2pRa$ . — Sit itaque $\textstyle e^{2}\equiv 2p{\pmod {a}}$ , ita ut $e$ sit impar atque $<a$ . Tum duo casus erunt distinguendi.

I. Quando $e$ per $p$ non est divisibilis. Sit $e^{2}=2p+aq$ eritque $q$ positivus, formae $8n+7$ vel formae $8n+3$ (prout $p$ est formae $4n+1$ vel $4n+3$ ), $<a$ , atque per $p$ non divisibilis. Iam omnes factores primi ipsius $q$ in quatuor classes distribuantur, sint scilicet $e$ formae $8n+1$ , $f$ formae $8n+3$ , $g$ formae $8n+5$ , $h$ formae $8n+7$ ; productum e factoribus primae classis sit $E$ , producta e factoribus secundae, tertiae, quartae classis respective, $F$ , $G$ , $H$ ^[11]. His ita factis, consideremus primo casum ubi $p$ est formae $4n+1$ , sive $q$ formae $8n+7$ . Tum facile perspicitur fore $2RE$ , $2RH$ , unde $pRE$ , $pRH$ , hincque tandem $ERp$ , $HRp$ . Porro erit $2$ non-residuum cuiusvis factoris formae $8n+3$ aut $8n+5$ , adeoque etiam $p$ ; hinc quivis talis factor non-residuum ipsius $p$ ; unde facile concluditur $FG$ fore ipsius $p$ residuum, si $f+g$ fuerit par, non-residuum, si $f+g$ fuerit impar. At $f+g$ impar esse non potest; facile enim perspicietur omnes casus enumerando, $EFGH$ sive $q$ fieri vel formae $8n+3$ vel $8n+5$ , si fuerit $f+g$ impar, quidquid sint singuli $e$ , $f$ , $g$ , $h$ , contra hyp. Erit igitur $FGRp$ , $EFGHRp$ , sive $qRp$ , hincque tandem, propter $aqRp$ , $aRp$ contra hyp. Secundo quando p est formae $4n+3$ , simili modo ostendi potest, fore $pRE$ adeoque $ERp$ , -pRF adeoque $FRp$ , tandem g+h parem hincque $GHRp$ , unde tandem sequitur $qRp$ , $aRp$ contra hyp.

II. Quando $e$ per $p$ divisibilis, demonstratio simili modo adornari et a peritis (quibus solis hic articulus est scriptus) haud difficulter evolvi poterit. Nos brevitatis gratia eam omittimus.

Solutio problematis generalis.

146.

Per theorema fundamentale atque propositiones ad residua $-1$ et $\pm 2$ pertinentes semper determinari potest, utrum numerus quicunque datus numeri primi dati residuum sit an non-residuum. At haud inutile erit, reliqua etiam quae supra tradidimus hic iterum in conspectum producere, ut omnia coniuncta habeantur, quae sunt necessaria ad solutionem

Problematis: Propositis duobus numeris quibuscunque $P$ , $Q$ , invenire, utrum alter $Q$ , alterius $P$ residuum sit an non-residuum.

Sol. I. Sit $P=a^{\alpha }b^{\beta }c^{\gamma }$ etc. designantibus $a$ , $b$ , $c$ etc. numeros primos inaequales positive acceptos (nam $P$ manifesto absolute est sumendus). Brevitatis gratia in hoc art. relationem duorum numerorum $x$ , $y$ simpliciter dicemus eam, quatenus prior $x$ posterioris $y$ residuum est vel non-residuum. Pendet igitur relatio ipsorum $Q$ , $P$ a relationibus ipsorum $Q$ , $a^{\alpha }$ ; $Q$ , $b^{\beta }$ etc. (art. 105).

II. Ut relatio ipsorum $Q$ , $a^{\alpha }$ (de reliquis enim $Q$ , $b^{\beta }$ etc. idem valet) innotescat, duo casus distinguendi sunt.

1. Quando $Q$ per $a$ est divisibilis. Ponatur $Q=Q'a^{e}\!$ , ita ut $Q'\!$ per $a$ non sit divisibilis. Tunc si $e=\alpha$ vel $e>\alpha$ , erit $QRa^{\alpha }\!$ ; si vero $e<\alpha$ atque impar, erit $QNa^{\alpha }\!$ : tandem si $e<\alpha$ atque par, habebit $Q$ ad $a^{\alpha }$ eandem relationem quam habet $Q'\!$ ad $a^{\alpha -e}\!$ . Reductus est itaque hic casus ad

2. Quando $Q$ per $a$ non est divisibilis. Hic denuo duos casus distinguimus.

(A) Quando $a=2$ . Tunc semper erit $QRa^{\alpha }\!$ , quando $\alpha =1$ ; quando vero $\alpha =2$ , requiritur, ut sit $Q$ formae $4n+1$ : denique quando $\alpha =3$ vel $>3$ , $Q$ debet esse formae $8n+1$ . Quae conditio si locum habet, erit $QRa^{\alpha }\!$ .

(B) Quando $a$ est alius numerus primus. Tunc $Q$ ad $a^{\alpha }\!$ eandem relationem habebit quam habet ad $a$ (V. art. 101).

III. Relatio numeri cuiuscunque $Q$ ad numerum primum $a$ (imparem) ita investigatur. Quando $Q>a$ , substituatur loco ipsius $Q$ ipsius residuum minimum positivum secundum modulum a^[12]. Hoc ad $a$ eandem relationem habebit quam habet $Q$ .

Porro resolvatur $Q$ , sive numerus ipsius loco assumtus, in factores suos primos $p$ , $p'\!$ , $p''\!$ etc., quibus adiungendus factor $-1$ , quando $Q$ est negativus. Tum constat relationem ipsius $Q$ ad $a$ pendere a relationibus singulorum $p$ , $p'\!$ , $p''\!$ etc. ad $a$ . Scilicet si inter illos factores sunt $2m$ non-residua ipsius $a$ , erit $QRa$ , si vero $2m+1$ , erit $QNa$ . Facile autem perspicitur, si inter factores $p$ , $p'\!$ , $p''\!$ etc., bini aut quaterni aut seni aut generaliter $2k$ aequales occurrant, hos tuto eiici posse.

IV. Si inter factores $p$ , $p'\!$ , $p''\!$ reperiuntur $-1$ et $2$ , herum relatio ad $a$ ex artt. 108, 112, 113, 114 inveniri potest. Reliquorum autem relatio ad $a$ pendet a relatione ipsius $a$ ad ipsos (theor. fund., atque propp. art. 131). Sit $p$ unus ex ipsis, invenieturque, (tractando numeros $a$ , $p$ eodem modo ut antea $Q$ et $a$ illis respective maiores) relationem ipsius $a$ ad $p$ aut per artt. 108 — 114 determinari posse (si scilicet residuum minimum ipsius $\textstyle a{\pmod {p}}$ nullos factores primos impares habeat), aut insuper a relatione ipsius $p$ ad numeros quosdam primos ipso $p$ minores pendere. Idem valet de reliquis factoribus $p'\!$ , $p''\!$ etc. Facile iam perspicitur per continuationem huius operationis tandem ad numeros perventum iri, quorum relationes per propp. artt. 108 — 114 determinari possint. Per exemplum haec clariora fient.

Ex. Quaeritur relatio numeri +453 ad 1236. Est 1236 = 4.3.103; +453R4 per II. 2(A); +453R3 per II. 1. Superest igitur ut relatio ipsius +453 ad 103 exploretur. Eadem autem erit quam habet +41 (≡ 453, mod. 103) ad 103; eadem ipsius +103 ad 41 (theor. fund.), sive ipsius −20 ad 41. At est −20R41; namque −20 = −1.2.2.5; −1R41 (art. 108); atque +5R41 ideo quod 41 ≡ 1 adeoque ipsius 5 residuum est (theor. fund.). Hinc sequitur +453R103, hincque tandem +453R1236. Est autem revera 453 ≡ 297² (mod. 1236).

De formis linearibus omnes numeros primos continentibus, quorum vel residuum vel non-residuum est numerus quicunque datus.

147.

Proposito numero quocunque $A$ , formulae certae exhiberi possunt, sub quibus omnes numeri ad $A$ primi quorum residuum est $A$ , continentur, sive omnes, qui esse possunt divisores numerorum formae $xx-A$ (designante $xx$ quadratum indeterminatum)^[13]. Sed brevitatis gratia ad eos tantum divisores respiciemus, qui sunt impares atque ad $A$ primi, quum ad hos casus reliqui facile reduci possint.

Sit primo $A$ aut numerus primus positivus formae $4n+1$ , aut negativus formae $4n-1$ . Tum secundum theorema fundamentale omnes numeri primi, qui, positive sumti, sunt residua ipsius $A$ , erunt divisores ipsius $xx-A$ : omnes autem numeri primi (excepto numero $2$ qui semper est divisor), qui ipsius $A$ sunt non-residua, erunt non-divisores ipsius $xx-A$ . Sint omnia residua ipsius $A$ ipso $A$ minora (exclusa cifra) $r$ , $r'\!$ , $r''\!$ etc. omnia non-residua vero $n$ , $n'\!$ , $n''\!$ etc. Tum quivis numerus primus, in aliqua formarum $Ak+r$ , $Ak+r'\!$ $Ak+r''\!$ etc. contentus, erit divisor ipsius $xx-A$ , quivis autem primus in aliqua formarum $Ak+n$ , $Ak+n'\!$ etc. contentus non-divisor erit, designante $k$ numerum integrum indeterminatum. Illas formas dicimus formas divisorum ipsius $xx-A$ , has vero formas non-divisorum. Utrorumque multitudo erit ${\scriptstyle {\frac {1}{2}}}(A-1)$ . Porro si $C$ est numerus compositus impar atque $ARB$ , omnes factores primi ipsius $B$ in aliqua formarum priorum continentur adeoque etiam $B$ . Quare quivis numerus impar in forma non-divisorum contentus, erit non-divisor formae $xx-A$ . Sed hoc theorema convertere non licet; nam si $B$ est non-divisor compositus impar formae $xx-A$ , inter factores primos ipsius $B$ aliqui non-divisores erunt, quorum multitudo si est par, $B$ nihilominus in aliqua forma divisorum reperietur. V. art. 99.

Ex. Hoc modo pro $A$ = −11 formae divisorum ipsius $xx$ +11 inveniuntur hae: 11k+1, 3, 4, 5, 9; formae non-divisorum autem erunt 11k+2, 6, 7, 8, 10. Erit itaque −11 non-residuum omnium numerorum imparium, qui in aliqua posteriorum formarum continentur, residuum autem omnium primorum ad aliquam priorum pertinentium.

Similes formae dantur pro divisoribus atque non-divisoribus ipsius $xx-A$ , quemcunque numerum designet $A$ . Sed facile perspicitur, eos ipsius $A$ valores tantummodo considerari oportere, qui per nullum quadratum sint divisibiles; patet enim si fuerit $A=a^{2}A'\!$ , omnes divisores^[14] ipsius $xx-A$ etiam fore divisores ipsius $xx-A'\!$ , similiterque non-divisores. — Distinguemus autem tres casus, 1) quando $A$ est formae $+(4n+1)$ vel $-(4n-1)$ . 2) quando $A$ est formae $-(4n+1)$ vel $+(4n-1)$ . 3) quando $A$ est par sive formae $\pm (4n+2)$ .

148.

Casus primus, quando $A$ est formae $+(4n+1)$ vel $-(4n-1)$ . Resolvatur $A$ in factores suos primos, tribuaturque iis qui sunt formae $4n+1$ , signum positivum, iis vero qui sunt formae $4n-1$ , signum negativum (unde fiet productum ex ipsis $=A$ ). Sint hi factores $a$ , $b$ , $c$ , $d$ etc. Distribuantur omnes numeri ipso $A$ minores et ad $A$ primi in duas classes, et quidem in primam classem omnes numeri, qui sunt nullius ex numeris $a$ , $b$ , $c$ , $d$ etc. non-residua, aut duorum, aut quatuor aut generaliter multitudinis paris; in secundam vero ii, qui sunt non-residua unius ex numeris $a$ , $b$ , $c$ etc. aut trium etc. aut generaliter multitudinis imparis. Designentur priores per $r$ , $r'\!$ , $r''\!$ etc., posteriores per $n$ , $n'\!$ , $n''\!$ etc. Tum formae $Ak+r$ , $Ak+r'\!$ , $Ak+r''\!$ etc. erunt formae divisorum ipsius $xx-A$ , formae vero $Ak+n$ , $Ak+n'\!$ etc. erunt formae non-divisorum ipsius $xx-A$ (i. e. numerus quicunque primus, praeter $2$ , erit divisor aut non-divisor ipsius $xx-A$ , prout in aliqua formarum priorum aut posteriorum continetur). Si enim $p$ est numerus primus positivus atque alicuius ex numeris $a$ , $b$ , $c$ etc. residuum vel non-residuum, hic ipse numerus ipsius $p$ residuum vel non-residuum erit (theor. fund.). Quare si inter numeros $a$ , $b$ , $c$ etc. sunt $m$ , quorum non-residuum est $p$ , totidem erunt non-residua ipsius $p$ , adeoque si $p$ in aliqua formarum priorum continetur, erit $m$ par et $ARp$ , si vero in aliqua posteriorum, erit $m$ impar atque $ANp$ .

Ex. Sit $A$ = +105 = −3×+5×−7. Tum numeri $r$ , $r'\!$ , $r''\!$ etc. erunt hi: 1, 4, 16, 46, 64, 79 (qui sunt non-residua nullius numerorum 3, 5, 7); 2, 8, 23, 32, 53, 92 (qui sunt non-residua numerorum 3, 5); 26, 41, 59, 89, 101, 104 (qui sunt non-residua numerorum 3, 7); 13, 52, 73, 82, 97, 103 (qui sunt non-residua numerorum 5, 7). — Numeri autem $n$ , $n'\!$ , $n''\!$ etc. erunt hi: 11, 29, 44, 71, 74, 86; 22, 37, 43, 58, 67, 88; 19, 31, 34, 61, 76, 94; 17, 38, 47, 62, 68, 83. Seni primi sunt non-residua ipsius 3, seni posteriores non-residua ipsius 5, tum sequuntur non-residua ipsius 7, tandem ii qui sunt non-residua omnium trium simul.

Facile ex combinationum theoria atque artt. 32, 96 deducitur, numerorum $r$ , $r'\!$ , $r''\!$ etc. multitudinem fore $\textstyle =t(1+{\frac {l.l-1}{1.2}}+{\frac {l.l-1.l-2.l-3}{1.2.3.4}}+\ldots )$ numerorum $n$ , $n'\!$ , $n''\!$ etc. multitudinem $\textstyle =t(l+{\frac {l.l-1.l-2}{1.2.3}}+{\frac {l.l-1.\ldots l-4}{1.2.\ldots 5}}+\ldots )$ ubi $l$ designat multitudinem numerorum $a$ , $b$ , $c$ etc.; $t=2^{-l}(a-1)(b-1)(c-1)$ etc. et utraque series continuanda donec abrumpatur. (Dabuntur scilicet $t$ numeri qui sunt residua omnium $a$ , $b$ , $c$ etc., ${\tfrac {t.l.l-1}{1.2}}$ qui sunt non-residua duorum, etc. sed demonstrationem hanc fusius explicare brevitas non permittit). Utriusque autem seriei summa^[15] est $=2^{l-1}$ . Scilicet prior prodit ex hac $1+(l-1)+{\tfrac {l-1.l-2}{1.2}}+\ldots$ iungendo terminum secundum et tertium, quartum et quintum etc., posterior vero ex eadem iungendo terminum primum atque secundum, tertium et quartum etc. Dabuntur itaque tot formae divisorum ipsius $xx-A$ , quot dantur formae non-divisorum, scilicet ${\scriptstyle {\frac {1}{2}}}(a-1)(b-l)(c-1)$ etc.

149.

Casum secundum et tertium hic simul contemplari possumus. Poterit scilicet $A$ semper hic poni $=(-1)Q$ , aut $=(+2)Q$ , aut $=(-2)Q$ , designante $Q$ numerum formae $+(4n+1)$ , aut $-(4n-1)$ , quales in art. praec. consideravimus. Sit generaliter $A=\alpha Q$ , ita ut sit $\alpha$ aut $=-1$ , aut $=\pm 2$ . Tum erit $A$ residuum omnium numerorum, quorum residuum est aut uterque $\alpha$ et $Q$ , aut neuter; non-residuum autem omnium, quorum non-residuum alteruter tantum numerorum $\alpha$ , $Q$ . Hinc formae divisorum ac non-divisorum ipsius $xx-A$ facile derivantur. Si $a=-1$ , distribuantur omnes numeri ipso $4A$ minores ad ipsumque primi in duas classes, in priorem ii, qui sunt in aliqua forma divisorum ipsius $xx-Q$ simulque in forma $4n+1$ , iique, qui sunt in aliqua forma non-divisorum ipsius $xx-Q$ simulque in forma $4n+3$ ; in posteriorem reliqui. Sint priores $r$ , $r'\!$ , $r''\!$ etc., posteriores $n$ , $n'\!$ , $n''\!$ etc., eritque $A$ residuum omnium numerorum primorum in aliqua formarum $4Ak+r$ , $4Ak+r'\!$ , $4Ak+r''\!$ etc. contentorum, non-residuum autem omnium primorum in aliqua formarum $4Ak+n$ , $4Ak+n'\!$ etc. contentorum. — Si $\alpha =\pm 2$ , distribuantur omnes numeri ipso $8Q$ minores ad ipsumque primi in duas classes, in primam ii, qui continentur in aliqua forma divisorum ipsius $xx-Q$ simulque in aliqua formarum $8n+1$ , $8n+7$ pro signo superiori, vel formarum $8n+1$ , $8n+3$ pro inferiori, iique qui contenti sunt in aliqua forma non-divisorum ipsius $xx-Q$ simulque in aliqua harum $8n+3$ , $8n+5$ pro signo superiori, vel harum $8n+5$ , $8n+7$ pro inferiori, — in secundam reliqui. Tum designatis numeris classis prioris per $r$ , $r'\!$ , $r''\!$ etc. , numerisque classis posterioris per $n$ , $n'\!$ , $n''\!$ etc., $\pm 2Q$ erit residuum omnium numerorum primorum in aliqua formarum $8Qk+r$ , $8Qk+r'\!$ , $8Qk+r''\!$ etc. contentorum, omnium autem primorum in aliqua formarum $8Qk+n$ , $8Qk+n'\!$ , $8Qk+n''\!$ etc. non-residuum. Ceterum facile demonstrari potest, etiam hic totidem formas divisorum ipsius $xx-A$ datum iri ac non-divisorum.

Ex. Hoc modo invenitur +10 esse residuum omnium numerorum primorum in aliqua formarum 40k+1, 3, 9, 13, 27, 31, 37, 39 contentorum, non-residuum vero omnium primorum, qui sub aliqua formarum 40k+7, 11, 17, 19, 21, 23, 29, 33 continentur.

150.

Formae hae plures habent proprietates satis memorabiles, quarum tamen unam tantummodo apponimus. Si $B$ est numerus compositus ad $A$ primus, inter cuius factores primos occurrunt $2m$ , qui in aliqua forma non-divisorum ipsius $xx-A$ continentur, $B$ in aliqua forma divisorum ipsius $xx-A$ contentus erit; si vero multitudo factorum primorum ipsius $B$ in aliqua forma non-divisorum ipsius $xx-A$ contentorum impar est, $B$ quoque in forma non-divisorum contentus erit. Demonstrationem quae non est difficilis, omittimus. Hinc vero sequitur, non modo quemvis numerum primum sed etiam quemvis compositum imparem ad $A$ primum, qui in aliqua forma non-divisorum contineatur, non-divisorem fore; necessario enim aliquis factor primus talis numeri debet esse non-divisor.

De aliorum laboribus circa has investigationes.

151.

Theorema fundamentale, quod sane inter elegantissima in hoc genere est referendum, in eadem forma simplici, in qua supra propositum est, a nemine hucusque fuit prolatum. Quod eo magis est mirandum, quum aliae quaedam propositiones illi superstruendae, ex quibus ad illud facile reveniri potuisset, ill. Eulero iam innotuerint. Formas certas dari, in quibus omnes divisores primi numerorum formae $xx-A$ contineantur, aliasque, in quibus omnes non-divisores primi numerorum eiusdem formae sint comprehensi, ita ut hae illas excludant, noverat methodumque illas formas inveniendi eruerat: sed omnes ipsius conatus ad demonstrationem perveniendi semper irriti fuerunt, veritatique illi per inductionem inventae maiorem tantummodo verisimilitudinem conciliaverunt. In aliqua quidem tractatione, Novae demonstrationes circa divisores numerorum formae xx+nyy, quae in Acad. Petrop. recitata est 1775 Nov. 20, et post mortem viri summi in T. I. Nov. Act. huius Ac. p. 47 sqq. est conservata, voti se compotem credidisse videtur: sed hic error irrepsit, scilicet p. 65 tacite supposuit, formas tales divisorum et non-divisorum exstare^[16], unde non difficile erat quales esse debeant, derivare: methodus autem qua usus est ad comprobationem illius suppositionis haud idonea videtur. In alio schediasmate, De criteriis aequationis fxx+gyy=hzz utrumque resolutionem admittat necne, Opusc. Anal. T. I. (ubi $f$ , $g$ , $h$ sunt dati, $x$ , $y$ , $z$ indeterminati) per inductionem invenit, si aequatio pro aliquo valore ipsius $h=s$ solubilis sit, eandem pro quovis alio valore ipsi $s$ secundum mod. $4fg$ congruo, siquidem sit numerus primus, solubilem fore, ex qua propositione suppositio, de qua diximus, haud difficile demonstrari potest. Sed etiam huius theorematis demonstratio omnes ipsius labores elusit^[17], quod non est mirandum, quia nostro iudicio a theoremate fundamentali erat proficiscendum. Ceterum veritas huius propositionis ex iis, quae in Sect. sequenti docebimus, sponte demanabit.

Post Eulerum, clar. Le Gendre eidem argumento operam navavit, in egregia tract. Recherches d'analyse indéterminée, Hist. de l'Ac. des Sc. 1785 p. 465 sqq., ubi pervenit ad theorema, quod si rem ipsam spectas, cum th. fund. idem est, scilicet designantibus $p$ , $q$ duos numeros primos positives, fore residua absolute minima potestatum $\textstyle p^{\scriptstyle {\frac {q-1}{2}}}$ , $\textstyle q^{\scriptstyle {\frac {p-1}{2}}}$ sec. mod. $q$ , $p$ resp. aut ambo $+1$ , aut ambo $-1$ , quando aut $p$ aut $q$ sit formae $4n+1$ ; quando vero tum p tum q sit formae $4n+3$ , alterum res. min. fore $+1$ , alterum $-1$ , p. 516, ex quo sec. art. 106 derivatur, relationem (in signif. art. 146 acceptam) ipsius $p$ ad $q$ ipsiusque $q$ ad $p$ eandem esse, quando aut $p$ aut $q$ sit formae $4n+1$ , oppositam, quando tum $p$ tum $q$ sit formae $4n+3$ . Propos. haec inter propp. art. 131 est contenta, sequitur etiam ex 1, 3, 9, art. 133; vicissim autem theor. fund. ex ipsa derivari potest. Clar. Le Gendre etiam demonstrationem tentavit, de qua, quum perquam ingeniosa sit, in Sect. seq. fusius loquemur. Sed quoniam in ea plura sine demonstratione supposuit (uti ipse fatetur p. 520: Nous avons supposé seulement etc.), quae partim a nemine hucusque sunt demonstrata, partim nostro quidem iudicio sine theor. fund. ipso demonstrari nequeunt: via quam ingressus est, ad scopum deducere non posse videtur, nostraque demonstratio pro prima erit habenda. — Ceterum infra duas alias demonstrationes eiusdem gravissimi theorematis trademus, a praec. et inter se toto coelo diversas.

De congruentiis secundi gradus non puris.

152.

Hactenus congruentiam puram $\textstyle xx\equiv A{\pmod {m}}$ tractavimus, ipsiusque resolubilitatem dignoscere docuimus. Radicum ipsarum investigatio per art. 105 ad eum casum est reducta, ubi $m$ est aut primus aut primi potestas, posterior vero per art. 101 ad eum, ubi $m$ est primus. Pro hoc autem casu ea, quae in art. 61 sqq. tradidimus, una cum iis, quae in Sectt. V et VIII docebimus, omnia fere complectuntur, quae per methodos directas erui possunt. Sed hae ubi sunt applicables plerumque infinities prolixiores sunt quam indirectae quas in Sect. VI docebimus, adeoque non tam propter utilitatem suam in praxi quam propter pulcritudinem memorabiles. — Congruentiae secundi gradus non purae ad puras facile reduci possunt. Proposita congruentia $axx+bx+c\equiv 0$ secundum mod. $m$ solvenda, huic aequivalebit congruentia $\textstyle 4aaxx+4abx+4ac\equiv 0{\pmod {4am}}$ i. e. quivis numerus alteri satisfaciens etiam alteri satisfaciet. Haec vero ita exhiberi potest $\textstyle (2ax+b)^{2}\equiv bb-4ac{\pmod {4am}}$ unde omnes valores ipsius $2ax+b$ minores quam $4am$ , si qui dantur, inveniri possunt. Quibus per $r$ , $r'\!$ , $r''\!$ etc. designatis, omnes solutiones congr. prop. deducentur ex solutionibus congruentiarum $2ax\equiv r-b$ , $2ax\equiv r'-b$ etc. $\textstyle {\pmod {4am}}$ quas in Sect. II invenire docuimus. Ceterum observamus, solutionem plerumque per varia artificia contrahi posse, ex. gr. loco congr. prop. aliam inveniri posse $a'xx+2b'x+c\equiv 0$ illi aequipollentem, et in qua $a'\!$ ipsum $m$ metiatur; haec vero, de quibus Sect. ultima conferri potest, hic explicare brevitas non permittit.

↑ Proprie quidem hic casu secundo alio sensu utimur, quam hucusque fecimus. Dicere scilicet oporteret, $r$ esse residuum quadrati $aa$ secundum modulum $m$ quando $\textstyle r\equiv aa{\pmod {m}}$ ; at brevitatis gratia in hac sectione semper $r$ ipsius $m$ residuum quadraticum vocamus neque hinc ulla ambiguitas metuenda. Expressionem enim, residuum, quando idem significat quod numerus congruus, abhinc non adhibebimus, nisi forte de residuis minimis sermo sit, ubi nullum dubium esse potest.
↑ Quomodo etiam modulis compositis carere possimus, mox docebimus.
↑ Puta quoniam multitudo numerorum imparium infra $2^{n-2}\!$ est $2^{n-3}\!$ .
↑ Quando igitur de numero quocunque loquemur quatenus numeri formae $4n+1$ residuum vel non-residuum est, ipsius signum omnino negligere sive etiam signum anceps $\pm$ ipsi tribuere poterimus.
↑ Considerando scilicet $-2$ tamquam productum ex $+2$ et $-1$ . V. art. 111.
↑ $+1$ autem excipi oportere per se manifestum est.
↑ Art. 98. Patet enim $a^{2}\!$ esse residuum ipsius $q$ per $q$ non divisibile, nam alias etiam numerus primus $p$ per $q$ foret divisibilis. Q. E. A.
↑ Si enim esset $\textstyle r\equiv -f\equiv +f{\pmod {p}}$ , fieret $2f$ per $p$ divisibilis, adeoque etiam $2a$ (propter $\textstyle ff\equiv a{\pmod {p}}$ ). Hoc autem aliter fieri nequit, quam si $p=2$ , quum per hyp. $a$ ad $p$ sit primus. Sed de hoc casu iam seorsim diximus.
↑ Erit scilicet $bb-rr=(b-r)(b+r)$ e duobus facto ribus compositus, quorum alter per $p$ divisibilis (hyp.), alter per $2$ (quia tum $b$ tum $r$ sunt impares); adeoque $bb-rr$ per $2p$ divisibilis.

↑

Sit	$l=1$	si uterque $\textstyle P,Q\equiv 3{\pmod {4}}$ , alioquin	$l=0$
	$m=1$	si uterque $P,Q$ negativus, alioquin	$m=0$

tunc relatio pendet ab $l+m$ .

↑ Si ex aliqua classe nulli factores adessent, loco producti ex his $1$ scribere oporteret.
↑ Residuum in signific. art. 4. — Plerumque praestat residuum absolute minimum accipere.
↑ Huiusmodi numeros simpliciter divisores ipsius $xx-A$ dicemus, unde sponte patet quid sint non-divisores.
↑ Nempe qui sint primi ad $A$ .
↑ Neglecto factore $t$ .
↑ Nempe dari numeros $r$ , $r'\!$ , $r''\!$ etc.; $n$ , $n'\!$ , $n''\!$ etc. omnes diversos et $<4A$ tales ut omnes divisores primi ipsius $xx-A$ sub aliqua formarum $4Ak+r$ , $4Ak+r'\!$ etc. contineantur, omnesque non-divisores primi sub aliqua harum $4Ak+n$ , $4Ak+n'\!$ etc. (designante $k$ numerum indeterminatum).
↑ Uti ipse fatetur, l. c. p. 216: „Huius elegantissimi theorematis demonstratio adhuc desideratur, postquam a pluribus iamdudum frustra est investigata… Quocirca plurimum is praestitisse censendus erit, cui successerit demonstrationem huius theorematis invenire.“ — Quanto ardore vir immortalis demonstrationem huius theorematis aliorumque, quae tantummodo casus speciales theor. fundam. sunt, desideraverit, videre licet ex multis aliis locis Opuscc. Anall. Conf. Additamentum ad diss. VIII. T. I. et diss. XIII. T. II. pluresque diss. in Communt. Petrop., iam passim laudatas.

[1] Proprie quidem hic casu secundo alio sensu utimur, quam hucusque fecimus. Dicere scilicet oporteret, $r$ esse residuum quadrati $aa$ secundum modulum $m$ quando $\textstyle r\equiv aa{\pmod {m}}$ ; at brevitatis gratia in hac sectione semper $r$ ipsius $m$ residuum quadraticum vocamus neque hinc ulla ambiguitas metuenda. Expressionem enim, residuum, quando idem significat quod numerus congruus, abhinc non adhibebimus, nisi forte de residuis minimis sermo sit, ubi nullum dubium esse potest.

[2] Quomodo etiam modulis compositis carere possimus, mox docebimus.

[3] Puta quoniam multitudo numerorum imparium infra $2^{n-2}\!$ est $2^{n-3}\!$ .

[4] Quando igitur de numero quocunque loquemur quatenus numeri formae $4n+1$ residuum vel non-residuum est, ipsius signum omnino negligere sive etiam signum anceps $\pm$ ipsi tribuere poterimus.

[5] Considerando scilicet $-2$ tamquam productum ex $+2$ et $-1$ . V. art. 111.

[6] $+1$ autem excipi oportere per se manifestum est.

[7] Art. 98. Patet enim $a^{2}\!$ esse residuum ipsius $q$ per $q$ non divisibile, nam alias etiam numerus primus $p$ per $q$ foret divisibilis. Q. E. A.

[8] Si enim esset $\textstyle r\equiv -f\equiv +f{\pmod {p}}$ , fieret $2f$ per $p$ divisibilis, adeoque etiam $2a$ (propter $\textstyle ff\equiv a{\pmod {p}}$ ). Hoc autem aliter fieri nequit, quam si $p=2$ , quum per hyp. $a$ ad $p$ sit primus. Sed de hoc casu iam seorsim diximus.

[9] Erit scilicet $bb-rr=(b-r)(b+r)$ e duobus facto ribus compositus, quorum alter per $p$ divisibilis (hyp.), alter per $2$ (quia tum $b$ tum $r$ sunt impares); adeoque $bb-rr$ per $2p$ divisibilis.

[10] 

Sit $l=1$ si uterque $\textstyle P,Q\equiv 3{\pmod {4}}$ , alioquin $l=0$

$m=1$ si uterque $P,Q$ negativus, alioquin $m=0$

tunc relatio pendet ab $l+m$ .

[11] Si ex aliqua classe nulli factores adessent, loco producti ex his $1$ scribere oporteret.

[12] Residuum in signific. art. 4. — Plerumque praestat residuum absolute minimum accipere.

[13] Huiusmodi numeros simpliciter divisores ipsius $xx-A$ dicemus, unde sponte patet quid sint non-divisores.

[14] Nempe qui sint primi ad $A$ .

[15] Neglecto factore $t$ .

[16] Nempe dari numeros $r$ , $r'\!$ , $r''\!$ etc.; $n$ , $n'\!$ , $n''\!$ etc. omnes diversos et $<4A$ tales ut omnes divisores primi ipsius $xx-A$ sub aliqua formarum $4Ak+r$ , $4Ak+r'\!$ etc. contineantur, omnesque non-divisores primi sub aliqua harum $4Ak+n$ , $4Ak+n'\!$ etc. (designante $k$ numerum indeterminatum).

[17] Uti ipse fatetur, l. c. p. 216: „Huius elegantissimi theorematis demonstratio adhuc desideratur, postquam a pluribus iamdudum frustra est investigata… Quocirca plurimum is praestitisse censendus erit, cui successerit demonstrationem huius theorematis invenire.“ — Quanto ardore vir immortalis demonstrationem huius theorematis aliorumque, quae tantummodo casus speciales theor. fundam. sunt, desideraverit, videre licet ex multis aliis locis Opuscc. Anall. Conf. Additamentum ad diss. VIII. T. I. et diss. XIII. T. II. pluresque diss. in Communt. Petrop., iam passim laudatas.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]