Pagina:Gauss, Carl Friedrich - Werke (1870).djvu/398

388

variae disquisitionum praecedentium applicationes.

bus; hoc facillime inde derivatur, quod illa fractio in duas alias cum denominatoribus $2^{\alpha }\!5^{\beta }\!$ et $N$ resolubilis est, quarum prior post primas $\alpha$ vel $\beta$ figuras abrumpetur.— Ceterum de hoc argumento multas alias observationes adiicere possemus, praesertim circa artificia, talem tabulam ut III quam citissime construendi, quas brevitatis caussa eo lubentius hoc loco supprimimus, quum plura huc pertinentia tum a cel. Robertson l. c., tum a cel. Bernoulli (Nouv. Mém. de l'Ac. de Berlin 1771 p. 273) iam sint tradita.

Solutio congruentiae $xx\equiv A$ per methodum exclusionis.

319.

Congruentiae $\textstyle xx\equiv A{\pmod {w}}$, quae convenit cum aequatione indeterminata $xx=A+my$ possibilitatem in Sect. IV (art. 146) ita tractavimus, ut nihil amplius desiderari posse videatur; respectu investigationis incognitae ipsius autem, iam supra (art. 152) observavimus, methodos indirectas directis longe esse praeferendas. Si $m$ est numerus primus (ad quem casum reliqui facile reducuntur), tabulam indicum I (cum III secundum obs. art. 316 combinatam) ad hunc finem adhibere possemus, ut in art. 60 generalius ostendimus: haec vero methodus intra tabulae limites restricta foret. Propter has rationes methodum sequentem generalem ac expeditam arithmeticae amatoribus haud ingratam fore speramus.

Ante omnia observamus, sufficere, si ii tantummodo valores ipsius $x$ habeantur, qui sint positivi atque non maiores quam ${\tfrac {1}{2}}m$, quum quivis alius horum alicui vel ipsi vel negative sumto secundum modulum $m$ congruus sit; pro tali vero valore ipsius $x$ valor ipsius $y$ necessario inter limites $-{\tfrac {A}{m}}$ et ${\tfrac {1}{2}}m-{\tfrac {A}{m}}$ contentus erit. Methodus itaque, quae statim se offert, in eo consisteret, ut pro singulis valoribus ipsius $y$ intra hos limites contentis, quorum complexum exprimemus per $\Omega$, valor ipsius $A+my$, quem per $V$ denotabimus, computetur, iique soli retineantur, pro quibus $V$ fit quadratum. Quando $m$ est numerus parvus (e. g. infra 40), hoc tentamen tam breve est, ut contractione vix opus sit; quando autem $m$ est magnus, labor per methodum exclusionis sequentem, quantum lubet, abbreviari poterit.

320.

Sit $E$ numerus arbitrarius integer ad $m$ primus ac maior quam $2$; omnia eins non-residua quadratica diversa (i. e. secundum $E$ incongrua) haec $a$, $b$, $c$ etc.;