Pagina:Gauss, Carl Friedrich - Werke (1870).djvu/46

Haec pagina emendata est

36

de congruentiis primi gradus.

43.

Congruentia $m^{ti}\!$ gradus $Ax^{m}+Bx^{m-1}+Cx^{m-2}+\mathrm {\ etc.\ } +Mx+N\equiv 0$ cuius modulus est numerus primus $p$ , ipsum $A$ non metiens, pluribus quam $m$ modis diversis solvi non potest, sive plures quam $m$ radices secundum $p$ incongruas non habet (Vid. artt. 25, 26).

Si quis neget, ponamus dari congruentias diversorum graduum $m$ , $n$ etc., quae plures quam $m$ , $n$ etc. radices habeant, sitque minimus gradus $m$ , ita ut omnes similes congruentiae inferiorum graduum theoremati nostro sint consentaneae. Quod quum de primo gradu iam supra sit demonstratum (art. 26), manifestum est, $m$ fore aut $=2$ aut maiorem. Admittet itaque congruentia $Ax^{m}+Bx^{m-1}+\mathrm {\ etc.\ } +Mx+N\equiv 0$ saltem $m+1$ radices, quae sint $x\equiv \alpha$ , $x\equiv \beta$ , $x\equiv \gamma$ etc., ponamusque id quod licet omnes numeros $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ etc. esse positivos et minores quam $p$ , omniumque minimum $\alpha$ . Iam in congruentia proposita substituatur pro $x$ , $y+\alpha$ , transeat que inde in hanc $A'y^{m}+B'y^{m-1}+C'y^{m-2}\ \ldots +M'y+N'\equiv 0$ Tum manifestum est, huic congruentiae satisfieri, si ponatur $y\equiv 0$ , aut $\equiv \beta -\alpha$ , aut $\equiv \gamma -\alpha$ etc., quae radices omnes erunt diversae, numerusque earum $=m+1$ . At ex eo quod $y\equiv 0$ est radix, sequitur, $N'\!$ per $p$ divisibilem fore. Quare etiam haec expressio $y(A'y^{m-1}+B'y^{m-2}+\mathrm {\ etc.\ } +M')\mathrm {\ \ fiet} \equiv 0{\pmod {p}}$ si ipsi $y$ unus ex $m$ valoribus $\beta -\alpha$ , $\gamma -\alpha$ etc. tribuitur, qui omnes sunt $>0$ et $<p$ , adeoque in omnibus hisce casibus etiam

	$A'y^{m-1}+B'y^{m-2}+\mathrm {\ etc.\ } +M'\mathrm {\ \ fiet} \equiv 0$	(art. 22)
i. e. congruentia	$A'y^{m-1}+B'y^{m-2}+\mathrm {\ etc.\ } +M'\equiv 0$

quae est gradus $m-1^{\mathrm {ti} }\!$ , $m$ radices habet et proin theoremati nostro adversatur (patet enim facile, $A'\!$ fore $=A$ , adeoque per $p$ non divisibilem, uti requiritur) licet supposuerimus, omnes congruentias inferioris gradus quam $m^{\mathrm {ti} }\!$ theoremati consentire. Q. E. A.