Pagina:Gauss, Carl Friedrich - Werke (1870).djvu/108

Haec pagina emendata est

98

de congruentiis secundi gradus.

Demonstr. Esto, si fieri potest, $a$ residuum omnium primorum ipso $2\surd {a}+1$ minorum. Tum facile perspicietur, $a$ etiam omnium numerorum compositorum ipso $2\surd {a}+1$ minorum residuum fore (conferantur praecepta per quae diiudicare docuimus, utrum numerus propositus sit numeri compositi residuum necne: art. 105). Sit numerus proxime minor quam $\surd {a}$ , $=m$ . Tum in serie $\mathrm {(I)} \ldots \ldots a,{\scriptstyle {\frac {1}{2}}}(a-1),2(a-4),{\scriptstyle {\frac {1}{2}}}(a-9)\ldots$ $2(a-mm)$ vel ${\scriptstyle {\frac {1}{2}}}(a-mm)$ totidem aut plures termini erunt per numerum quemcunque ipso $2\surd {a}+1$ minorem divisibiles, quam in hac $\mathrm {(II)} \ldots \ldots 1,2,3,4\ldots 2m+1$ (art. praec.) Hinc vero sequitur, productum ex omnibus terminis $\mathrm {(I)}$ per productum omnium terminorum $\mathrm {(II)}$ divisibile esse (art. 126). At illud est aut $=a(a-2)(a-4)\ldots (a-mm)$ aut semissis huius producti (prout $m$ aut par aut impar). Quare productum $a(a-1)(a-4)\ldots (a-mm)$ certo per productum omnium terminorum $\mathrm {(II)}$ dividi poterit, et, quia omnes hi termini ad $a$ sunt primi, etiam productum illud omisso factore $a$ . Sed productum ex omnibus terminis $\mathrm {(II)}$ ita etiam exhiberi potest $(m+1).((m+1)^{2}-1).((m+1)^{2}-4)\ldots ((m+1)^{2}-m^{2})$ Fiet igitur $\textstyle {\frac {1}{m+1}}.{\frac {a-1}{((m+1)^{2}-1)}}.{\frac {a-4}{((m+1)^{2}-4)}}\ldots .{\frac {a-m^{2}}{((m+1)^{2}-m^{2})}}$ numerus integer, quamquam sit productum ex fractionibus unitate minoribus: quia enim necessario $\surd {a}$ irrationalis esse debet, erit $m+1>\surd {a}$ , adeoque $(m+1)^{2}>a$ . Hinc tandem concluditur suppositionem nostram locum habere non posse. Q. E. D.