Pagina:Gauss, Carl Friedrich - Werke (1870).djvu/122

112

de congruentiis secundi gradus.

1. Quando $Q$ per $a$ est divisibilis. Ponatur $Q=Q'a^{e}\!$, ita ut $Q'\!$ per $a$ non sit divisibilis. Tunc si $e=\alpha$ vel $e>\alpha$, erit $QRa^{\alpha }\!$; si vero $e<\alpha$ atque impar, erit $QNa^{\alpha }\!$: tandem si $e<\alpha$ atque par, habebit $Q$ ad $a^{\alpha }$ eandem relationem quam habet $Q'\!$ ad $a^{\alpha -e}\!$. Reductus est itaque hic casus ad

2. Quando $Q$ per $a$ non est divisibilis. Hic denuo duos casus distinguimus.

(A) Quando $a=2$. Tunc semper erit $QRa^{\alpha }\!$, quando $\alpha =1$; quando vero $\alpha =2$, requiritur, ut sit $Q$ formae $4n+1$: denique quando $\alpha =3$ vel $>3$, $Q$ debet esse formae $8n+1$. Quae conditio si locum habet, erit $QRa^{\alpha }\!$.

(B) Quando $a$ est alius numerus primus. Tunc $Q$ ad $a^{\alpha }\!$ eandem relationem habebit quam habet ad $a$ (V. art. 101).

III. Relatio numeri cuiuscunque $Q$ ad numerum primum $a$ (imparem) ita investigatur. Quando $Q>a$, substituatur loco ipsius $Q$ ipsius residuum minimum positivum secundum modulum a^[1]. Hoc ad $a$ eandem relationem habebit quam habet $Q$.

Porro resolvatur $Q$, sive numerus ipsius loco assumtus, in factores suos primos $p$, $p'\!$, $p''\!$ etc., quibus adiungendus factor $-1$, quando $Q$ est negativus. Tum constat relationem ipsius $Q$ ad $a$ pendere a relationibus singulorum $p$, $p'\!$, $p''\!$ etc. ad $a$. Scilicet si inter illos factores sunt $2m$ non-residua ipsius $a$, erit $QRa$, si vero $2m+1$, erit $QNa$. Facile autem perspicitur, si inter factores $p$, $p'\!$, $p''\!$ etc., bini aut quaterni aut seni aut generaliter $2k$ aequales occurrant, hos tuto eiici posse.

IV. Si inter factores $p$, $p'\!$, $p''\!$ reperiuntur $-1$ et $2$, herum relatio ad $a$ ex artt. 108, 112, 113, 114 inveniri potest. Reliquorum autem relatio ad $a$ pendet a relatione ipsius $a$ ad ipsos (theor. fund., atque propp. art. 131). Sit $p$ unus ex ipsis, invenieturque, (tractando numeros $a$, $p$ eodem modo ut antea $Q$ et $a$ illis respective maiores) relationem ipsius $a$ ad $p$ aut per artt. 108 — 114 determinari posse (si scilicet residuum minimum ipsius $\textstyle a{\pmod {p}}$ nullos factores primos impares habeat), aut insuper a relatione ipsius $p$ ad numeros quosdam primos ipso $p$ minores pendere. Idem valet de reliquis factoribus $p'\!$, $p''\!$ etc. Facile iam

1. Residuum in signific. art. 4. — Plerumque praestat residuum absolute minimum accipere.