Usor:Trlit/DA/WIP
List of articles (up to sectio quarta):
Quam fertilis sit arithmetica sublimior veritatibus, quae in aliis quoque matheseos partibus usum praestent, pluribus iam passim locis addigitavimus; quasdam vero applicationes, quae expositionem ampliorem merentur, seorsim tractare non inutile duximus, non tam ut hoc argumentum, quo plura volumina facile impleri possent, exhauriatur, quam potius ut per aliqua specimina illustretur. In hacce quidem Sectione primo de resolutione fractionum in simpliciores agemus; dein de conversione fractionum communium in decimales ; tum methodum novam exclusionis explicabimus, solutioni aequationum indeterminatarum secundi gradus inservientem; tandem methodos novas expeditas trademus, numeros primos a compositis dignoscendi, horumque factores explorandi. In Sectione sequente autem theoriam generalem generis peculiaris functionum, per totam analysin latissime patentis, quatenus cum arithmetica sublimiori arctissime connexa est, stabiliemus, imprimisque theoriam sectionis circuli, cuius prima tantum elementa hactenus innotuerunt, novis incrementis amplificare studebimus.
Problema. Fractionem , cuius denominator est productum e duobus numeris inter se primis , , in duas alias discerpere, quarum denominatores sint , .
Sol. Sint fractiones quaesitae ,, fierique debebit ; hinc erit radix congruentiae , quae per Sect. II erui poterit, vero fiet .
Ceterum constat, congruentiam radices infinite multas, sed secundum congruas, habere, unica vero tantum positiva minorque quam dabitur; fieri autem potest etiam, ut evadat negativus. Vix necesse erit monere, etiam per congruentiam , atque per aequationem inveniri posse. E. g. proposita fractione 5877, erit 4 valor expr. 5811 (mod. 7), unde 5877 resolvitur in 47+211.
Si fractio proponitur, cuius denominator est productum e factoribus quotcunque inter se primis , , , etc. : per art. praec. primo in duas resolvi potest, quarum denominatores sint et etc.; secunda iterum in duas denominatorum et etc.; posterior rursus in duas et sic porro, unde tandem fractio proposita sub hanc formam redigetur etc. Numeratores , , , etc. manifesto positivos ac denominatoribus suis minores accipere licebit, praeter ultimum, qui reliquis determinatis non amplius est arbitrarius, atque etiam negativus aut denominatore maior fieri potest (siquidem non supponimus ). Tum plerumque e re erit, ipsum sub formam redigere, ita ut sit positivus ac minor quam , vero integer. Denique patet, , , etc. ita accipi posse, ut sint vel numeri primi vel numerorum primorum potestates.
Ex. Fractio 391924, cuius denominator =4.3.7.11 hoc modo resolvitur in 14+40231; 40231 in 23−3877; −3877 in 17−711; unde, scribendo 411−1 pro −711 fit 391924 = 14+23+17+411−1.
Fractio unico tantum modo sub formam etc. reduci potest, ita ut , etc. sint positivi ac minores quam , etc. scilicet supponendo etc.etc. atque etiam , etc. positivos ac minores quam , etc., necessario erit , , etc., . Multiplicando enim per etc., patet fieri etc. etc. , unde, quoniam etc. ad primus est, necessario adeoque , et perinde etc., unde etiam sponte . Iam quum prorsus arbitrarium sit, cuiusnam denominatoris numerator primus supputetur, manifestum est, omnes numeratores ita investigari posse, ut in art. praec., puta per congruentiam etc. , per hanc etc. etc.; summa omnium fractionum sic inventarum vel propositae aequalis erit, vel differentia numerus integer , qua via simul confirmationem calculi nanciscimur. Ita in ex. art. praec. valores expr. 391231 (mod. 4), 391208 (mod. 3), 391132 (mod. 7), 39184 (mod. 11) statim suppeditant numeratores 1, 2, 1, 4 denominatoribus 4, 3, 7, 11 respondentes, summaque harum fractionum propositam unitate superare invenitur.
Definitio. Si fractio communis in decimalem convertitur, seriem figurarum decimalium[1] (excluso si quis adest numero integro), sive finita sit, sive in infinitum excurrat, fractionis mantissam vocamus, expressionem, alias tantummodo apud logarithmos usitatam, in significatione latiori accipientes. Ita e. g. fractionis 18 mantissa est 125, mantissa fractionis 3516 1875, fractionis 237 mantissa 054054… in inf.
Ex hac definitione statim patet, fractiones eiusdem denominatoris , easdem vel diversas mantissas habere, prout numeratores , secundum congrui sint vel incongrui. Mantissa finita non mutatur, si ad dextram cifrae quotcunque apponantur. Mantissa fractionis obtinetur, rescindendo a mantissa fractionis figuram primam et generaliter mantissa fractionis invenitur rescindendo figuras primas mantissae ipsius . Mantissa fractionis statim figura significativa (i. e. a cifra diversa) incipit, si non ; si vero ac nulli potestati ipsius aequalis, multitudoque figurarum e quibus constat est , primae figurae mantissae ipsius erunt cifrae atque demum sequens ta erit significativa. Hinc facile deducitur, si , mantissas diversas habeant (i. e.
- ↑ Brevitatis caussa disquisitionem sequentem ad systema vulgare decadicum restringimus, quum facile ad quodvis aliud extendi possit.